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28 2 Zeit und Länge
B0 S Bv
τ
τ
B0 Bv
t
τ
q
O
lv
τ
B0
Abbildung 2.11: Verkürzung bewegter Maßstäbe
beider Maßstäbe stimmen zu diesem Zeitpunkt überein. Der bewegte Maßstab ist kürzer,
denn die Weltlinie seines linken Endes schneidet die Strecke von t zu τ ′ im Punkt q.
Da die Dreiecke t O τ ′ und t τ q ähnlich sind, verhält sich die Länge lv der Strecke τ ′ q
zur Länge l der Strecke τ ′ t wie die Länge der Strecke O τ zur Länge der Strecke O t. Es
ist aber τ = √ 1 − v 2 t die Länge der Strecke O τ und t die Länge der Strecke O t. Also
hat ein mit Geschwindigkeit v bewegter Maßstab die Länge
τ
t
Bv
lv = √ 1 − v 2 l , (2.23)
wenn ihn ein Beobachter mit seinem gleichen, ruhenden Maßstab der Länge l vergleicht.
L
Abbildung 2.12: Beschleunigte
Raketen
l
Wie das rechte Raumzeitdiagramm 2.11 zeigt, ist die Verkürzung
bewegter Maßstäbe wechselseitig. Für den Beobachter Bv
sind die Ereignisse τ und t ′ gleichzeitig und der Maßstab von B0
kürzer.
Werden zwei Raumschiffe, die wir als Punkte idealisieren, und
die zunächst in einem Abstand L ruhen, einige Zeit auf gleiche Art
beschleunigt, so daß ihre Weltlinien wie im Diagramm 2.12 durch
eine Verschiebung um L auseinander hervorgehen, so haben sie
für einen ruhenden Beobachter jederzeit diesen Abstand L. Nach
Ende der Beschleunigung durchlaufen sie mit einer Geschwindigkeit
v gerade Weltlinien. Messen die Raumschiffe dann ihren
Abstand mit einem mitbewegten Maßstab, so erhalten sie einen
Wert l. Für den ruhenden Beobachter ist dieser Maßstab bewegt
und hat die kontrahierte Länge √ 1 − v 2 l. Dabei ist √ 1 − v 2 l = L, da der Maßstab von
einem Raumschiff zum anderen reicht. Es ist also l = L/ √ 1 − v 2 und größer als L.
Ein zwischen die Raumschiffe gespanntes Seil, wie es in [13, Kapitel 9] bedacht wird,
das ursprünglich zum Zerreißen gespannt ist, reißt daher augenblicklich, wenn beide
Raumschiffe und das Seil gleich beschleunigt werden.
Dies sehen auch die Besatzungen beider Raumschiffe. Für sie erreicht die vordere
Rakete schneller die Endgeschwindigkeit und entfernt sich dabei von der hinteren.
2.4 Verkürzung bewegter Maßstäbe 29
Um die Bestandteile eines Seils, die bis zur Zeit t = 0 ruhen, auf die Geschwindigkeit
v zu beschleunigen, so daß von ihnen gesehen die Abstände gleich bleiben, muß man die
in Richtung der Beschleunigung hinteren Teile stärker und kürzer beschleunigen als die
vorderen, so daß alle Punkte bei r, 0 ≤ r ≤ L, in der Zeit 0 ≤ t ≤ v (r + R)/1 − v 2 /c 2
die konzentrischen, hyperbelförmige Weltlinien x(t) =(r + R) 2 + c 2 t 2 −R durchlaufen
und sich danach gleichförmig weiterbewegen. Dabei ist c 2 /R die Beschleunigung des
hintersten Punktes.
Längenparadoxon
So wie Zeitdehnung zum Zwillingsparadoxon führt, so ergibt Längenverkürzung einen
scheinbaren Widerspruch, wenn man durchdenkt, ob ein Auto in eine gleich große Garage
paßt, in die es schnell hinein fährt. Für den Garagenbesitzer ruht die Garage und das
bewegte Auto ist kürzer und paßt in die Garage. Aber aus Sicht des Autofahrers ist die
Garage kürzer und das Auto paßt nicht hinein.
Das zeigen die Raumzeitdiagramme 2.11, in denen B0 und die dazu parallele Linie den
Garagenbesitzer am Garagentor und die Garagenwand markieren und die Weltlinie Bv
und die dazu parallele Linie den Autofahrer an der vordere Stoßstange und die hintere
Stoßstange des Autos.
Denken wir uns einen roten Lichtblitz, der von einer Lichtschranke im Ereignis τ ′
ausgesendet wird, wenn die vordere Stoßstange die Garagenwand erreicht, und einen
grünen Lichtblitz, der im Ereignis τ ausgesendet wird, wenn die hintere Stoßstange das
Garagentor erreicht. Der Schiedsrichter sieht diese Lichtblitze gleichzeitig und da auch
die Lichtlaufzeiten von τ und τ ′ zu ihm gleich sind, bestätigt er, daß Garage und Auto
gleich lang sind.
Der Garagenbesitzer B0 sieht den roten Lichtblitz von τ ′ später als den grünen. Berücksichtigt
er die Lichtlaufzeit, so stellt er fest, daß die vordere Stoßstange die Garagenwand
im Ereignis τ ′ zur Zeit t erreicht hat, also nach dem Ereignis τ, in dem die hintere Stoßstange
das Garagentor durchfuhr. Für ihn hat zur Zeit t das Auto in die Garage gepaßt,
es ist kürzer.
Der Autofahrer Bv sieht den grünen Lichtblitz τ vom Heck des Autos später als den
roten. Berücksichtigt er die Lichtlaufzeit, so stellt er fest, daß der grüne Lichtblitz τ zur
Zeit t ′ ausgelöst wurde, also nach dem roten Lichtblitz bei τ. Für ihn hat erst die vordere
Stoßstange die Garagenwand erreicht und danach die hintere das Tor, also ist für ihn die
Garage kürzer.
Daran ist nichts paradox. Gegeneinander bewegte Beobachter brauchen nicht darin
übereinzustimmen, in welcher Reihenfolge zwei Ereignisse stattfinden, wenn es sich bei
den Ereignissen nicht um Ursache und Wirkung handelt, wie in diesem Beispiel die
Durchfahrt des Hecks durch das Garagentor und der Aufprall der Stoßstange auf die
Garagenwand.