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292 E Konforme Abbildungen
mit w = 1 1
1
− eingeführt werden, damit L = 2 d 2ΓmnDmφDnφ eine skalare Dichte vom Gewicht
1 und die quadratische Lagrangefunktion einer invarianten Wirkung ist. Allerdings
erfordert für w = 0, also d > 2, die kovariante Ableitung einer Dichte
ein Eichfeld am mit Transformationsgesetz
Dmφ = ∂mφ + w amφ (E.127)
a ′ m(x ′ ) = ∂xn
∂x ′ man(x)
∂x
− ∂m ln det
∂x ′
. (E.128)
Solch ein Feld kann aber auf R × S d−1 nicht als Hintergrundfeld vorgegeben werden,
das invariant unter konformen Transformationen ist. Denn es muß an jedem Punkt x
invariant unter der Stabilitätsgruppe Hx sein. Es ist aber kein Wert des Eichfeldes am(0)
invariant unter eigentlich konformen Transformationen.
Für d > 2 führt die Einstein-Hilbert-Lagrangedichte L =ˆg( ˆ R −2Λ) (E.17) zu einer
konform invarianten Wirkung für ein skalares Feld, das Dilaton φ. Die Metrik ˆgmn
ˆgmn = φ 4
d−2gmn
(E.129)
ist dabei zusammengesetzt aus einem konformen Faktor φ 4
d−2 und einer konform symme-
trischen, fest vorgegebenen Hintergrundmetrik gmn (E.116). Unter infinitesimalen kon-
formen Transformationen ist die Wirkung invariant, wenn (δφ 4
d−2)gmn die Lieableitung
von ˆgmn ergibt
(δφ 4
d−2)gmn = Lξ(φ 4
d−2gmn) = (ξ m ∂mφ 4
d−2 + 2
d Dlξ l φ 4
d−2)gmn . (E.130)
Dabei haben wir die konforme Killinggleichung Lξgmn = 2ǫgmn, ǫ = 1
d Dlξ l , (E.27) verwendet.
Wir lesen die infinitesimale konforme Transformation des Dilatons φ ab
δφ = ξ m ∂mφ +
d − 2
2d Dlξ l φ , (E.131)
unter der die Wirkung mit Lagrangefunktion L =ˆg( ˆ R − 2Λ) (E.17) invariant ist.
F Einige Standardformen der Metrik
Harmonische Eichung
In der Umgebung jedes Punktes lassen sich Koordinaten finden, in denen die Metrik die
Lorenzbedingung
∂m( √ gg mn ) = 0 , g = | detg..| (F.1)
erfüllt. Diese Eichung heißt auch harmonische Eichung.
Ist die Bedingung noch nicht erfüllt, so betrachte man neue Koordinatenfunktionen
x ′ m . Für die Lorenzbedingung in diesen Koordinaten gilt
∂ ′ m (g ′ g ′mn ) = ∂xr
∂x ′ m∂r√ kl
gg ∂kx ′ m ∂lx ′ n | det ∂x | ∂x ′
= | det ∂x
∂x ′ |√gg kl ∂k∂lx ′ n + ∂xr
∂x ′ m∂k∂rx ′m ∂lx ′ n√ gg kl | det ∂x
|+
∂x ′
+ √ gg kl ∂lx ′ n ∂k| det ∂x
∂x ′ | + ∂k( √ gg kl )∂lx ′ n | det ∂x
(F.2)
|
∂x ′
∂x ′ m
Hierbei ist ∂xr
∂x ′ m ∂xk = δr k verwendet worden. Der zweite und der dritte Term heben sich
auf, denn die Ableitung der Determinante ergibt (I.11)
und es gilt einfach
∂k| det ∂x ∂x
| = | det
∂x ′ ∂x
∂x
s
|∂x′ ∂k
′ r
∂xr ∂x
′ s = −| det ∂x
∂xr
|
∂x ′ ∂x
′ s∂k
′ s ∂x
∂xr , (F.3)
∂ ′ m (g ′ g ′mn ) = | det ∂x
∂x ′ |∂k( √ gg kl ∂lx ′ n ) . (F.4)
Wählt man also in der Umgebung eines Punktes die Funktionen x ′ m als Lösung von
0 = ∂k( √ gg kl ∂lx ′ n ) = √ gg kl ∂k∂lx ′ n + ∂k( √ gg kl )∂lx ′ n , (F.5)
und Lösungen dieser linearen Wellengleichung (7.74) existieren [29], so definieren sie bei
geeignet gewählten Anfangsbedingungen, det ∂x′ = 0, neue Koordinaten, in denen die
∂x
Lorenzbedingung gilt.
Die Lorenzbedingung legt die Koordinaten nicht vollständig fest. Ist sie schon erfüllt,
so gilt sie auch in allen weiteren Koordinatensystemen x ′ m , deren Koordinatenfunktionen
die Wellengleichung erfüllen
√ kl
gg ∂k∂lx ′ n = 0 . (F.6)