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210 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Äußere Ableitung
Passend zur bisherigen Schreibweise definieren wir als äußere Ableitung d der p-Form
ω = 1/p! dx m1 . . .dx mp ωm1...mp die p + 1-Form
1
dω = dx m0 dx m1 . . .dx mp ∂m0
p! ωm1...mp = dx m0 dx m1 . . .dx ∂[m0ωm1...mp] = dx m0 dx m1 . . .dx mp
p 1
(−1)
(p + 1)! l=0
l p ∂mlωml+1...mpm0...ml−1 .
1 mp
p!
(A.92)
Da das Produkt von Koordinatendifferentialen total antisymmetrisch ist, trägt zur äußeren
Ableitung nur die antisymmetrisierte partielle Ableitung der Komponentenfunktionen
bei. Sie sind antisymmetrisch, daher reicht es, zur Antisymmetrisierung (A.66)
über die p + 1 zyklischen Vertauschungen der Indizes zu summieren und dabei das Vorzeichen
sign(π) zu berücksichtigen. Die l-fach zyklische Vertauschung von p + 1-Indizes
ist ungerade, wenn l p ungerade ist.
Die äußere Ableitung hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Drücken wir ωm1...mp
durch die Komponenten ω ′ aus (A.75), und leiten wir ab
n1...np
so verschwinden wegen der Antisymmetrisierung
′ n1 np ∂x′
∂[m0∂x
. . . m1 ∂x ∂xmp] ω′ n1...np, (A.93)
∂2x ′ n
∂x [m0∂xm] und die Ableitung wirkt als
∂m0 = ∂x′n0 ∂xm0 ∂′ n0 nur auf ω′ ∂x′ n
n1...np . Die Differentiale fassen wir mit dxm ∂xm = dx ′ n zusam-
men
p! dω = dx m0 dx m1 . . .dx mp ∂m0ωm1...mp = dx ′ n0 dx ′ n1 . . .dx ′ np ∂ ′ n0ω′ n1...np . (A.94)
Man bestätigt leicht, daß d linear ist, auf Produkte von p- und q-Formen mit der
graduierten Produktregel
d(ω (p) ˆω (q) ) = (dω (p) )ˆω (q) + (−1) p ω (p) (dˆω (q) ) (A.95)
wirkt und nilpotent ist, weil antisymmetrisierte, zweifache Ableitungen verschwinden
d(dω) = 0 . (A.96)
In sternförmigen Gebieten, die mit jedem Punkt x auch die Verbindungsstrecke λx,
0 ≤ λ ≤ 1, zum Ursprung enthalten, gilt das Poincaré-Lemma
dω = 0 ⇔ ω = konst + dα (A.97)
Die Folgerung von rechts nach links ist selbstverständlich, denn die äußere Ableitung
einer konstanten Funktion verschwindet und d ist nilpotent. Verschwindet umgekehrt
die äußere Ableitung einer Nullform, so ist die Funktion konstant. Diese von x und dx
unabhängige Konstante ist keine äußere Ableitung, da sie kein dx enthält.
Verschwindet in einem sternförmigen Gebiet die äußere Ableitung dω einer p-Form
mit p > 0, so schreiben wir ω(x) als ein Integral längs des Strahls vom Ursprung, 5 und
verwenden die Antisymmetrie von ωm1...mp sowie (−1) p = (−1) −p ,
1
ωm1...mp(x) =
dλ d
dλλ p ωm1...mp(λx)
0
1
= dλ p λ
0
p−1 ωm1...mp|λx + λpx m0 ∂m0ωm1...mp|λx
1
dω=0
= dλ p λ
0
p−1 ωm1...mp|λx − λpx m0
p
(−1)
l=1
lp ∂mlωml+1...mpm0...ml−1|λx 1
= dλ p λ
0
p−1 ωm1...mp|λx + λpx m0
p
(−1)
l=1
lp+p−l+1 ∂mlωm0ml+1...mpm1...ml−1|λx p
= (−1)
l=1
(l−1)(p−1) 1
∂ml
dλ λ
0
p−1 x m0 ωm0ml+1...mpm1...ml−1 (λx). (A.98)
Es ist also ω = dα und α = dx m2 . . .dx mp αm2...mp/(p − 1)! hat die Komponenten
211
1
αm2...mp(x) = dλ λ
0
p−1 x m1 ωm1m2...mp(λx) . (A.99)
Für eine sternförmige Untermannigfaltigkeit F folgt hieraus der Satz von Stokes. Man
kann sie in Strahlen vom Ursprung zu den Randpunkten ¯x(s 2 , . . .,s p ) zerlegen und mit
den Koordinaten x(λ, s 2 . . .s p ) = λ¯x(s 2 , . . ., s p ), 0 ≤ λ ≤ 1, parametrisieren. Das Integral
(A.76) über ∂F über die p − 1-Form α ist nach (A.99) gleich dem Integral über F
über die p-Form dα
∂¯xm2 ∂¯xmp
i2...ip
α = ε . . .
i2
∂F ∂s ∂sip 1
(p − 1)! αm2...mp(¯x(s)) d p−1 s
1
= dλ d
0
p−1 s p
p! εi2...ip ¯x m1 ∂¯xm2 ∂¯xmp
p−1
λ . . .
i2 ∂s ∂sip ωm1m2...mp(λ¯x)
= ω .
F
(A.100)
Denn es gilt ¯x m = ∂xm
und λ∂¯xm
∂λ ∂si = ∂xm
∂si . Wenn wir λ in s1 umbenennen und berücksichtigen,
daß die Summe mit εi1i2...ip mit p Indizes p mal so viele Terme hat wie die Summe
mit εi2...ip mit p − 1 Indizes, dann ist dies das Integral über F über die p -Form ω = dα.
α = dα (A.101)
Metrik
∂F
In den Mannigfaltigkeiten, die wir betrachten, ist eine Metrik gegeben, das heißt ein
reelles Skalarprodukt g(u, v) = uóv von Tangentialvektoren am selben Punkt, das symmetrisch,
bilinear und nicht entartet ist
uóv = vóu , uó(v + w) = uóv + uów , uó(cw) = c(uów) ∀c ∈ R . (A.102)
5 In λ p ist p der Exponent, in x m bezeichnet m Komponenten.
F