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4 Relativistische Teilchen
4.1 Beschleunigte Uhren
Die Weltlinie einer Uhr Γ : s ↦→ (t(s), x(s), y(s), z(s)) ist zeitartig, das heißt, Ereignisse
auf der Weltlinie liegen zeitartig zueinander 1 . Ist die Weltlinie nicht gerade, sondern
beschleunigt, so nähern wir sie durch einen Streckenzug, der mit vielen kleinen, geraden,
zeitartigen Strecken Zwischenpunkte verbindet, und setzen die Gesamtzeit additiv aus
den Zeiten zusammen, die auf diesen Strecken vergehen.
Zwischen benachbarten Ereignissen mit Differenzvektor ds( dt
ds
gleichförmig bewegte Uhr die Zeit ∆τ an
, dx
ds
, dy
ds
dz , ) zeigt jede
ds
∆τ = dsdt
ds2
−dx
ds2
−dy
ds2
−dz
ds2
. (4.1)
Ideale Uhren, die Weltlinien Γ durchlaufen, messen und addieren diese Zeiten.
Zeit: Auf einer zeitartigen Weltlinie Γ : s ↦→ x(s) zeigt eine ideale Uhr zwischen dem
Ereignis A = x(s) und dem späteren Ereignis B = x(s) die Zeit τ(B, A ; Γ) an.
τ(B, A ; Γ) =
Γ:A→B
∆τ =
s
s
dsdt
ds2
−dx
ds2
−dy
ds2
−dz
ds2
(4.2)
Anders als in Newtonscher Physik ist τ keine Weltzeit, die allein von A und B abhängt,
denn ∆τ ist nicht die Ableitung dτ einer Funktion τ der Raumzeit. Die Zeit ist die
Weglänge in der Raumzeit und hängt von der Weltlinie Γ ab, die zwischen A und B
durchlaufen wird.
Auf geraden Weltlinien stimmt τ 2 überein mit dem Längenquadrat (2.43) des Differenzvektors
wBA (2.47) von A nach B.
Zwischen A und B setzt sich die Zeit additiv aus Zeiten zusammen, die auf Teilstücken
Γ1 und Γ2 der Weltlinie vergehen, das heißt für alle Ereignisse C, die auf der Weltlinie
Γ = Γ1 + Γ2 zwischen A und B stattfinden, gilt
Γ:A→B
∆τ =
Γ1:A→C
∆τ +
Γ2:C→B
∆τ . (4.3)
Die Zeit τ(B, A ; Γ) ist unabhängig von der Parametrisierung der Weltlinie.
1 Die Funktion t(s) ist monoton wachsend. Dann werden die Ereignisse auf der Weltlinie als Funktion
des Bahnparameters s genau einmal und kausal geordnet durchlaufen.