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134 6 Teilchen im Gravitationsfeld
6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession
Senkrechter Fall ins Schwarze Loch
Beim senkrechten Fall verschwindet der Drehimpuls L, und der Energiesatz (6.21) lautet
wie im nichtrelativistischen Fall (4.85)
dr r0
− = −r0 . (6.79)
ds2
r R
Dabei drücken wir die Konstante (E/m) 2 − 1 durch den Wert der linken Seite auf der
Gipfelhöhe R aus, wo dr/ds verschwindet. Die Lösung dieser Gleichung ist (4.90)
s(r) = s(0) +
R 3
r0r
r01 − r
R
r
− arctan
(6.80)
R − r.
Der Fall bis zum Schwarzschildradius dauert die endliche Eigenzeit s(r0) − s(R).
Dort beträgt dr/ds = −1 − r0/R (6.79). Wählen wir einfachheitshalber den Nullpunkt
der Eigenzeit so, daß r0 zur Eigenzeit s(r0) = 0 durchlaufen wird, so verhält sich
r(s) dort bis auf höhere Potenzen von s wie
r = r0 −1 − r0
s . (6.81)
R
Die Eigenzeit s hängt für r > r0, das heißt s < 0, mit der Koordinatenzeit t durch (6.20)
zusammen
(1 − r0
r )dt
ds =1 − r0
, (6.82)
R
wobei wir die Konstante E/m durch die Gipfelhöhe R ausdrücken. Beim Schwarzschildradius
gilt daher bis auf höhere Potenzen von s für negative s
ds
dt =1 − r0
R− 1
21 − r0
r∼− s
r0
t
− r , s(t) ∝ −e 0 , (6.83)
und umgekehrt t/r0 = − ln(−s) + konst.
Insbesondere erreicht das fallende Teilchen den Schwarzschildradius nicht zu endlicher
Koordinatenzeit.
Das liegt, wie wir bei Raumzeitdiagramm 8.1 diskutieren, daran, daß die Koordinaten
t und r am Schwarzschildradius r0 ungeeignet sind. Es besagt nicht, daß das fallende
Teilchen nicht r0 durchfällt, und auch nicht, daß es unendlich lange für einen bei rB > r0
ruhenden Beobachter sichtbar ist.
Seine Uhr zeigt die Eigenzeit dτ =1 − r0/rB dt. Wenn das Teilchen mit einer konstanten
Rate dn/ds Photonen aussendet, so verhält sich diese Rate, bezogen auf die Uhr
des Beobachters, wegen dn/dτ = dn/dsóds/dtódt/dτ wie ds/dt und nimmt, wenn das
Teilchen dicht über dem Schwarzschildradius ist, exponentiell ab
dn
dτ
√ τ
r ∝ e− 0 1−r0 /rB . (6.84)
6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession 135
Genau so wie dn/dt nimmt die Frequenz νB der beobachteten Photonen, die beobachtete
Zahl von Schwingungen pro Zeiteinheit, exponentiell ab, νB ∝ e −t/r0 . Die Rotverschiebung
des Lichts von fallenden Teilchen ist größer als von ruhenden Teilchen (6.78).
Der radiale Maßstab des Beobachters zeigt Längen dl = dr/1 − r0/rB . Wenn das
Teilchen am Beobachter vorbeifällt, hat es für ihn eine Geschwindigkeit mit Betrag
dl
v =
dτ
= dl
dr
dr
ds
ds
dt
dt
dτ =r0
−
rB
r0 21 −
R1 r0
R− 1
2 . (6.85)
Sie ist umso größer, je näher der Beobachter dem Schwarzen Loch ist, und geht für
rB → r0 gegen die Lichtgeschwindigkeit c = 1.
Strahlt das Teilchen gleichstark in alle Richtungen, so bewirkt Aberration den Scheinwerfereffekt,
daß dieses Licht für den Beobachter mehr in Bewegungsrichtung des Teil-
chens ausläuft und, wenn er das Teilchen unter sich sieht, auf ein um 1+v
1−v vergrößertes
Flächenelement verteilt wird. Diese Strahlauffächerung verringert die gesehene Leuchtstärke
des Teilchens für einen Beobachter in der Fallinie um einen Faktor, der proportional
zu s(t) ∝ −e −t/r0 ist, wenn das Teilchen den Schwarzschildradius durchfällt.
Durch Dopplereffekt, Rotverschiebung und Aberration nimmt also die beobachtete
Leuchtstärke beim Fall durch den Horizont mit e −3t/r0 ab. Sie wird zwar nie Null, verringert
sich aber bei einem Schwarzen Loch mit einen Schwarzschildradius wie die Sonne,
r0 ≈ 3ó10 3 m, binnen 3,3ó10 −6 s um einen Faktor e und ist schnell unter jeder Nachweisgrenze.
Das Bild des Teilchens verlischt wie eine Glühlampe, die man ausschaltet: auch
ihr Temperaturunterschied zur Umgebung verschwindet schließlich nur exponentiell. Die
Gesamtzahl der Photonen, die der Beobachter vom Teilchen sieht, ist endlich. Damit
kann man nur endlich viele Bilder belichten.
Das gemeinsame Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs und eines Teilchens, das von
R = ∞ fällt, ist nicht das eines Schwarzen Lochs mit größerer Masse, denn es ist nicht
kugelsymmetrisch. Es ist zeitabhängig, und es werden Gravitationswellen abgestrahlt.
Es entsteht wohl schließlich ein Schwarzes Loch mit Drehimpuls (Kerr-Lösung) und mit
einer Masse, die um die Energie der abgestrahlten Gravitationswellen geringer ist als die
Summe der Massen des Teilchens und des ursprünglichen Schwarzen Lochs.
Das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs, in das eine kugelsymmetrische Schale von
Materie fällt, ist außen dasjenige eines Schwarzes Lochs mit der Gesamtmasse, im von
der Schale umschlossenen Bereich wirkt nur die Masse des Zentrums (8.55).
Beobachter auf Kreisbahnen
Ein Beobachter bezieht Längen und Zeiten benachbarter Ereignisse auf einen Satz von
vier normierten und zueinander senkrechten Basisvektoren, auf das Vierbein. Dabei ist
der zeitartige Basisvektor die Tangente an seine eigene, mit der Eigenzeit parametrisierte
Weltlinie. Die Tangente verbindet Ereignisse, die nacheinander stattfinden, und
entspricht der mitgeführten Uhr des Beobachters. Die drei dazu senkrechten raumartigen
Basisvektoren zeigen von seiner Weltlinie zu gleichzeitigen Ereignissen in Einheitsabstand,
sie sind die räumlichen Meßlatten. Einfachheitshalber rechnen wir mit c = 1.