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158 7 Äquivalenzprinzip
0 < ε < δ der Realteil
ℜf(ε) e i
ε=0 (7.91)
verschwindet. Dies gilt, weil sich f(ε) mit einem Restglied als f(ε) = f(0)+o(ε) schreiben
läßt, wobei limε→0 o(ε) = 0 ist. Die Annahme, f(0) = |f(0)|eiα sei nicht Null, führt zum
Widerspruch, denn dann gibt es positive ε, die so klein sind, daß |o(ε)| < |f(0)| gilt, für
die aber cos( 1 + α) = 1 ist. Für solche ε kann (7.91) nicht gelten
ε
|f(0)| cos( 1
ε + α) + ℜo(ε) e i
ε= 0 , (7.92)
denn der Betrag des zweiten Terms ist kleiner als der erste Term.
Die Maxwellgleichungen (7.69), multipliziert mit ε, besagen für (7.87)
θ(x)
−i
0 = ℜ e εä−k m kman − iε 2k m Dman + (Dmk m )an + iεD m Dman + Rn k ak
+kn + iεDnk m am + iεD m amç.
Hieraus folgt, zumindest wo θ(x) nicht in einer Umgebung verschwindet,
(7.93)
k m kman |ε=0 − knk m am |ε=0 = 0 . (7.94)
Entweder ist bei ε = 0 die Amplitude an = knb proportional zu kn, dann sind kn
und an nicht weiter eingeschränkt. Allerdings läßt sich solch eine Amplitude wegeichen,
A ′ m = Am + ∂mℜ iε2 θ
i e εb verschwindet bis zu quadratischer Ordnung bei ε = 0.
Oder es ist bei ε = 0 die Amplitude an nicht proportional zu kn. In diesem Fall, den
wir im weiteren betrachten, ist km lichtartig und am transversal
k m km = 0 und k m am |ε=0 = 0. (7.95)
Auf den Lichtstrahlen x(λ) ist daher die Phase θ konstant
d dxm
θ(x(λ)) =
dλ dλ ∂mθ = k m km = 0 . (7.96)
Weil km ein Gradient ist und weil das Christoffelsymbol symmetrisch unter Permutation
der unteren Indizes ist, ist auch Dnkm symmetrisch
Dnkm = (∂n∂mθ − Γnm l kl) = Dmkn . (7.97)
Daher und weil die Länge des Wellenvektors konstant ist (7.95), verschwindet die kovariante
Ableitung des Tangentialvektors k n längs des Lichtstrahls
0 = 1
2 Dn(k m km) = k m Dnkm = k m Dmkn = dxm
dλ Dmkn . (7.98)
Lichtstrahlen sind lichtartige geodätische Weltlinien 5 des torsionsfreien, metrikverträglichen
Paralleltransports
0 = dxm
dλ Dmk n = dkn dxm
+
dλ
dλ Γml n k l = d2xn ndxk
+ Γkl
dλ2 dλ
dx l
dλ
. (7.99)
5Aus den gleichen Gründen durchlaufen relativistische, quantenmechanische Wellenpakete von Teilchen
mit Masse m
m2
ε , die der Klein-Gordon Gleichung ( + ε2 )ψ = 0 genügen, zeitartige geodätische
Weltlinien mit einem Wellenvektor auf der Massenschale k n kn = m 2 .
7.5 Lichtstrahlen 159
Die Lichtstrahlen und die Phase θ sind vollständig festgelegt, wenn θ zu einer Anfangszeit
x 0 = 0 vorgegeben wird und zu dieser Zeit nirgends extremal ist. Damit sind
die räumlichen Komponenten ki = ∂iθ = 0 gegeben, und k 0 folgt aus k m km = 0
k 0 =(g 0i g 0j − g 00 g ij )kikj . (7.100)
Folglich liegen die Tangentialvektoren k m der Lichtstrahlen zur Zeit x 0 = 0 fest und
es gibt, wenn alle Ereignisse x 0 = 0 zueinander raumartig sind, durch jeden Punkt
genau einen Lichtstrahl (7.99) mit diesem Tangentialvektor, der den Anfangspunkt zur
Anfangszeit durchläuft. Auf dem Lichtstrahl ist die Phase θ konstant und durch ihren
Wert am Anfangspunkt gegeben.
In der Lorenzeichung, k m am + iεD m am = 0, werden die Amplituden an wegen (7.93)
und wegen k 2 = 0 längs der Lichtstrahlen x(λ) gemäß
2k m Dman + (Dmk m )an + iεD m Dman + Rn k ak=0 (7.101)
transportiert. Ihre Entwicklungskoeffizienten am,j(x) für j = 0, 1, . . ., N (7.88) genügen
also dem linear inhomogenen Differentialgleichungssystem
mit Funktionen fn m (λ) und bm,j(λ)
2 d
dλ an,j(x(λ)) + fn m (λ) am,j(x(λ)) = bn,j(λ) (7.102)
fn m (λ) = (−2k l Γln m + δn m Dlk l )| x(λ) ,
bn,j(λ) = −i(D m Dman,j−1 + Rn m am,j−1)| x(λ) , an,−1 = 0 .
(7.103)
Die Lösung am,j(x(λ)) existiert und ist nach Vorgabe der Anfangswerte am,j(x(0)) eindeutig.
Demnach definieren das Gleichungssystem und die Anfangsbedingungen rekursiv
die Koeffizientenfunktionen am,j(x).
Aus (7.101) folgt, daß im Vakuum die Photonenzahl lokal erhalten ist. Denn multiplizieren
wir mit a ∗ n und addieren wir die komplex konjugierte Gleichung, so folgt
0 = Dm(k m a n a ∗ n ) . (7.104)
Jeder kovariant erhaltene Strom jm gehört zu einer Stromdichte √ gjm , die eine Kontinuitätsgleichung
erfüllt (I.16). Im vorliegenden Fall ist die Nullkomponente der erhaltenen
Stromdichte − ε √ 0 n ∗ g k a a 8π n die Photonendichte, denn die Energiedichte T 00 (7.72) des
elektromagnetischen Feldes ist − 1 √ 0 0 n ∗ g k k a a 8π
n , also einen Faktor ω = k0 /ε größer.
Wenn die Energiedichte von Teilchen der Energie ω herrührt, dann ist − ε √ 0 n ∗ g k a a 8π n
die Dichte dieser Teilchen.
Der Erhaltungssatz der Photonenzahl besagt, daß sich Photonen geometrisch so verdünnen,
wie die Lichtstrahlen auseinander laufen. Dies ist für lokale Energieerhaltung
notwendig. Weltlinien von Photonen beginnen nicht im Vakuum und enden nicht im
Vakuum, sie durchlaufen es.
Die Polarisationsrichtung wird im Grenzfall verschwindender Wellenlängen, also für
ε = 0, längs der Lichtstrahlen parallel transportiert. Schreiben wir nämlich in (7.101) die