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282 E Konforme Abbildungen
Schreiben wir Funktionen von x 1 und x 2 als Funktionen g(z, z), so wirkt wegen
∂1g(z, z) = (∂z + ∂z)g und ∂2g(z, z) = i (∂z − ∂z)g das konforme Killingfeld ξ1 ∂1 + ξ2 ∂2
als Differentialoperator
ξ = ξ m ∂m = f(z) ∂z + f(z) ∂z . (E.70)
Als Basis für Vektorfelder mit polynomialen Koeffizientenfunktionen kann man zum
Beispiel die Vektorfelder
Ln = −z n+1 ∂z , Ln = −z n+1 ∂z , n = −1, 0, 1, 2, . . . (E.71)
mit zueinander konjugiert komplexen Koeffizienten wählen. Sie erfüllen die Witt-Algebra
[Lm, Ln] = (m − n)Lm+n , [Lm, Ln] = (m − n)Lm+n , [Ln, Lm] = 0 . (E.72)
Insbesondere spannen die Vektorfelder i
2 (−L−1 +L1 +L−1 −L1), 1
2 (L−1 +L1 +L−1 +L1)
und i(L0 − L0) die dreidimensionale, reelle Liealgebra (D.19) der Drehungen SO(3) auf.
Davon verschwindet i(L0 − L0) bei z = 0 und erzeugt die Stabilitätsgruppe SO(2).
Es können nicht zu allen diesen konformen Killingfeldern endliche, konforme Transformationen,
also holomorphe Selbstabbildungen mit nirgends verschwindender Ableitung,
gehören. Wenn die zur Drehgruppe SO(3) gehörigen Vektorfelder zu endlichen Transformationen
gehören, so ist der Orbit S2 = SO(3)/SO(2) (B.24) die Mannigfaltigkeit, auf die
sie wirken. Auf S2 = C ∪ {∞} sind konforme Killingfelder von der Form f(z)∂z +f(z)∂z
mit holomorphen Koeffizientenfunktionen, für die zudem z−2f(z) → 0 für z → ∞ gilt,
damit sie als Vektorfeld im Koordinatensystem z ′ = 1/z bei z ′ = 0 wohldefiniert sind.
Dies sind reelle Linearkombinationen von L−1 + L−1, L0 + L0, L1 + L1, i(L−1 − L−1),
i(L0 −L0) und i(L1 −L−1), die die Liealgebra von SO(1, 3) aufspannen. Sie erzeugen die
konforme Gruppe von S2 , die aus den Möbiustransformationen (D.81) der komplexen
Zahlenkugel S2 = C ∪ {∞} besteht.
E.4 Konforme Killinggleichung
Wir untersuchen, welche Räume und Metriken in mehr als zwei Dimensionen eine maximale
Zahl von konformen Killingfeldern zulassen. Schreiben wir die Lieableitung der
Metrik mit der Levi-Civita-Konnektion als symmetrisierte, kovariante Ableitung von ξm
(C.109), so lautet mit den Bezeichnungen
ωkl = 1
2 (Dkξl − Dlξk) , ωkl = −ωlk , ǫ = 1
d Drξ r , (E.73)
die konforme Killinggleichung (E.27)
Dkξn = ωkn + ǫgkn . (E.74)
Notwendigerweise müssen beide Seiten bei erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren
der Ableitungsindizes übereinstimmen
−Rkln m ξm
C.54
= [Dk, Dl]ξn = Dkωln − Dlωkn + glnDkǫ − gknDlǫ . (E.75)
E.4 Konforme Killinggleichung 283
Diese Gleichung legt die Ableitung von ωmn als Funktion von ξ und der Ableitung von
ǫ, bk = Dkǫ, fest. Denn die zyklische Summe ○ kln Rkln m verschwindet wegen der ersten
Bianchi-Identität (C.110). Zudem verschwindet wegen gmn = gnm die zyklische Summe
○ kln(glnDkǫ − gknDlǫ), es ist also ○ kln Dkωln = 0 oder Dkωln − Dlωkn = −Dnωkl
Dkωmn = Rmnklξ l − gkmbn + gknbm , (E.76)
Dkǫ = bk . (E.77)
Auch hier ist notwendig, daß bei erneutem Differenzieren und Antisymmetrisieren in den
Ableitungsindizes beide Seiten übereinstimmen
− Rklm r ωrn − Rkln r C.54
E.76
ωmr = [Dk, Dl]ωmn =
Dk(Rmnlrξ r ) − Dl(Rmnkrξ r ) − glmDkbn + glnDkbm + gkmDlbn − gknDlbm .
(E.78)
Die Gleichung Dkǫ = bk erfordert Dkbl − Dlbk = 0, also ist Dkbl symmetrisch unter
Vertauschung der Indizes.
Kontrahieren wir (E.78) mit g lm und g kn , so folgt
g kl Dkbl = 1
d − 1 Ds (Rsrξ r ) . (E.79)
In die einmal mit g lm kontrahierte Gleichung (E.78) eingesetzt, ergibt sich für d > 2 die
kovariante Ableitung von bn
Dkbn = 1
d − 2Dk(Rnrξ r ) − D s (Rsnkrξ r ) − Rk r ωrn − Rrknsω rs − 1
(E.80)
Werten wir die kovarianten Ableitungen mit (E.74) aus und berücksichtigen wir (E.23)
sowie (Rrnks + Rrkns)ωrs = 0 wegen der Antisymmetrie von ωrs und den Permutationssymmetrien
von Rrkns, so ist Dkbn symmetrisch in k und n und mit der Notation
rkn = Rkn − 1
2(d−1) gknR (E.20) von der Form
d − 1 gknD s (Rsrξ r )
Dkbn = 1
d − 2ξ r Drrkn + 2ǫ rkn + rnrωk r + rkrωn r. (E.81)
Damit ist (E.78) noch nicht erfüllt. Setzen wir dort (E.81) ein, so erhalten wir ein lineares,
algebraisches Gleichungssystem für ξk, ǫ und ωkl. Dabei sind die Koeffizienten bei ǫ bis
auf einen Faktor −2 die Komponenten des Weyltensors Wmnkl (E.11), des spurfreien
Teils des Riemanntensors. Nur wenn das lineare Gleichungssystem den Rang 0 hat,
wenn also alle Koeffizienten bei ξk, ǫ und ωkl verschwinden, hat der Raum die maximal
mögliche Zahl von konformen Killingfeldern. Insbesondere verschwindet also bei einem
maximal konform symmetrischen Raum der Weyltensor. Dann verschwinden auch die
Koeffizienten bei ξk und bei ωkl und (E.78) ist erfüllt.
Die Gleichung (E.81) erfordert, daß nach weiterem Ableiten und Antisymmetrisieren
in den Ableitungsindizes beide Seiten übereinstimmen. Wenn wir in
−Rkln r br = [Dk, Dl]bn = Dk(Dlbn) − Dl(Dkbn) (E.82)