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144 7 Äquivalenzprinzip
es verschwindet also die kovariante Divergenz des Energie-Impulstensors. Dabei ist die
Konnektion Γkl m , mit der die kovariante Ableitung gebildet wird, metrikverträglich und
torsionsfrei, also durch das Christoffelsymbol gegeben.
Die Gleichung (7.7) beschreibt analog zur Elektrodynamik (5.26), wie in der Allgemeinen
Relativitätstheorie Energie und Impuls erhalten sind und wie die Energie- und
Impulserhaltung verletzt sind.
Für jeden Raumzeitpunkt lassen sich Koordinaten finden, so daß das Christoffelsymbol
an diesem Punkt verschwindet. Dies haben wir im Anschluß an Gleichung (C.74) gezeigt.
Grenzt man in solch einem Koordinatensystem ein kleines Volumen ab, und integriert
man die Energiedichte T 00 , so ändert sich, analog zu (5.22), die im Volumen befindliche
Energie nur dadurch, daß unausgeglichen Energie durch die Randflächen in das Volumen
hinein oder heraus strömt. Dies ist zwar nicht ganz richtig, denn das Christoffelsymbol
verschwindet nicht im ganzen Volumen, aber man kann den Fehler durch Verkleinern des
Volumens beliebig klein machen. Gleiches gilt für jede Komponente des Impulses und
die zugehörige Impulsdichte T 0i . Lokal gilt also in jedem Raumzeitpunkt Energie- und
Impulserhaltung.
Folglich gibt die Allgemeine Relativitätstheorie auf die Frage: Wann würden wir es
”
auf der Erde merken, wenn plötzlich die Sonne nicht mehr da wäre und die Gravitation
der Sonne die Erde nicht mehr auf einer Umlaufbahn hielte?“ die Antwort, daß solch
eine Situation nicht entstehen kann, denn Energie und Impuls können nicht einfach
weggedacht werden, sondern nur an einen anderen Punkt transportiert werden. Die Frage
ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie so sinnvoll wie in der Zahlentheorie
die Frage, ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist, wenn sie zwischen 0 und 1 liegt.
Obwohl es in jedem Raumzeitpunkt Energie- und Impulserhaltung gibt, gibt es dennoch
keine Erhaltung der Gesamtenergie oder des Gesamtimpulses. Es läßt sich, wie wir
im Anschluß an Gleichung (C.67) diskutiert haben, das Christoffelsymbol nur dann in
einer Umgebung eines Punktes durch Wahl des Koordinatensystems auf Null transformieren,
wenn der Riemanntensor verschwindet und folglich die Raumzeit flach ist. Dies
kann nur in einer Raumzeit gelten, die vollständig leer ist. Der Term Γkl mT kl in (7.7)
verletzt die Energie- und Impulserhaltung. Anders als im Fall der Elektrodynamik (5.26),
wo die Zusatzterme 1
cF k njn den Austausch von Energie und Impuls des elektromagnetischen
Feldes mit den Ladungen beschreibt, kann Γkl mT kl nicht einfach als Austausch
von Energie- und Impuls der Materie mit dem Gravitationsfeld gedeutet werden, denn
dieser Term hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab. Er kann nicht lokal gemessen
werden, denn alle lokalen Meßapparate messen Größen, die vom verwendeten
Koordinatensystem unabhängig sind.
Wenn aber die Metrik eine Isometrie besitzt und es ein Killingfeld ξ mit δξgmn = 0
(7.1) gibt, dann folgt aus (7.7) ein zur Symmetrie gehöriger erhaltener Strom. Wir sehen
dies, wenn wir die nach Wilhelm Killing [41] benannte Killinggleichung (E.28)
0 = ξ k ∂kgmn + ∂mξ k gkn + ∂nξ k gmk
(7.11)
mit T mn multiplizieren und, wir verwenden die Schreibweise ξn = gnkξ k , geeignet zu-
sammenfassen
7.3 Testteilchen 145
0 =ξ k ∂kgmn + ∂mξ k gkn + ∂nξ k gmkT mn
= ∂m(ξnT mn ) + ∂n(ξmT mn )+
+ ξ k(∂kgmn)T mn − ∂m(gknT mn ) − ∂n(gmkT mn ).
(7.12)
Die letzte Zeile verschwindet wegen (7.3). Demnach gehört zu jedem Killingfeld ξ ein
erhaltener Strom (G.55)
j m = T mn ξn , ∂mj m = 0 . (7.13)
Ist zum Beispiel die Metrik zeitunabhängig, so ist die Energie der Materie im Gravitationsfeld
erhalten; ist die Metrik drehinvariant, so ist der Drehimpuls der Materie erhalten.
Ändert sich die Metrik wie im expandierenden Universum im Laufe der Zeit, so ist die
Energie nicht erhalten. Die Energie der Hintergrundstrahlung nimmt durch die Rotverschiebung,
die mit der Expansion einhergeht, ab, ohne daß diese Energie in eine andere,
lokal meßbare Energieform überführt wird.
Auch zu jedem konformen Killingfeld ξ, ξ k ∂kgmn + ∂mξ k gkn + ∂nξ k gmk + ǫgmn = 0, gehört,
wie (7.12) zeigt, ein erhaltener Strom T mn ξn, wenn die Energie-Impulstensordichte
spurfrei ist T mn gmn = 0. Dies ist dann der Fall, wenn die Lagrangedichte von der Metrik
gmn nur über die metrische Dichte g 1
dg mn abhängt, beispielsweise beim Skalarfeld φ in
d = 2 Dimensionen mit Lagrangedichte L = √ g g mn ∂mφ ∂nφ oder beim Vektorfeld Am
in d = 4 Dimensionen mit Lagrangedichte (7.62).
7.3 Testteilchen
Ist ein Testteilchen so klein, daß auf seinen Abmessungen die Ungleichmäßigkeit des
metrischen Feldes vernachlässigt werden kann, andererseits aber so ausgedehnt, daß die
Gravitation, die es selbst erzeugt auch an dem Ort vernachlässigt werden kann, an dem
es sich aufhält, so durchläuft im Vakuum, wie wir in diesem Abschnitt zeigen [42], der
Schwerpunkt dieses Testteilchens in der Raumzeit eine geodätische Weltlinie des torsionsfreien,
metrikverträglichen Paralleltransports.
Ein Teilchen hat Energie und Impuls und trägt also zur Energie-Impulstensordichte
(7.4) bei. Um das Verhalten des Teilchens im Gravitationsfeld zu klären, denken wir uns
die Feldgleichungen (7.5) der Gravitation zunächst in Abwesenheit des Teilchens gelöst.
Dann existieren eine Metrik gmn und eine Energie-Impulstensordichte T mn , die insbesondere
die Gleichung (7.7) für die kovariante Energie-Impulserhaltung lösen. Fügen wir ein
Testteilchen hinzu, so ändert sich die Metrik und damit verbunden das Christoffelsymbol
und die Energie-Impulstensordichte. Außer (7.7) gilt auch
0 = ∂l(T ml + τ ml ) + (Γkl m + γkl m )(T kl + τ kl ) . (7.14)
Für die Änderung τ ml der Energie-Impulstensordichte, die vom Testteilchen hervorgerufen
ist, und die Änderung des Christoffelsymbols γkl m folgt also
0 = ∂lτ ml + Γkl m τ kl + γkl m (T kl + τ kl ) . (7.15)