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198 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Vektorfeld, Faserbündel, Schnitt
Aber was ist eine Zuordnung? Man vermeidet bei Funktionen f : M → N diesen
unklaren Begriff, indem man f als eine Teilmenge des kartesischen Produktes definiert,
die für jedes p ∈ M genau ein Paar (p, f(p)) enthält, 2
f = {(p, f(p)) : p ∈ M , f(p) ∈ N } ⊂ M × N . (A.19)
Die mathematisch haltbare Definition eines Vektorfeldes u muß den Begriff einer Funktion
verallgemeinern, denn für verschiedene Punkte p sind die Vektoren u|p in verschiedenen
Vektorräumen Tp: es lassen sich Tangentialvektoren an verschiedenen Punkten
nicht addieren.
Wir definieren daher ein Vektorfeld u als einen Schnitt im Tangentialbündel über M.
Das Tangentialbündel TM ist die Menge aller Paare von Punkten p und Vektoren v am
Punkt p,
TM = {(p, v) : p ∈ M , v ∈ Tp} . (A.20)
Ein Schnitt u durch das Tangentialbündel ist eine Teilmenge, die für jeden Punkt p ∈ M
genau ein Paar (p, u|p) ∈ TM enthält,
u = {(p, u|p) : p ∈ M , u|p ∈ Tp} ⊂ TM . (A.21)
Bei den mathematischen Begriffen Bündel, Faser und Schnitten soll die Ähnlichkeit
zu den gleichlautenden Begriffen bei Getreidefeldern das intuitive Begreifen erleichtern.
Allgemeiner ist ein Faserbündel (oder kurz Bündel) B über M eine Mannigfaltigkeit,
in der es eine Projektion auf die Basismannigfaltigkeit gibt,
π : B → M , (A.22)
hier: π(p, v) = p. Die Faser über p ist die Menge der Urbilder, π −1 (p) ⊂ B . Fasern
verschiedener Punkte sind einander isomorph: jeder Punkt p liegt in einer Umgebung
Uα, so daß in ihr die Urbilder π −1 Uα wie ein kartesisches Produkt Uα × N aussehen,
mathematisch: bijektiv stetig auf das kartesische Produkt abbildbar sind. Da die Basismannigfaltigkeit
durch Wegprojizieren der Fasern entsteht, die bijektiv zu N sind,
schreibt man M = B/N .
Zwar sieht jedes Bündel in einer Umgebung jedes Punktes wie ein kartesisches Produkt
aus, aber es gibt nichttriviale Bündel, die kein Produkt sind. Beispielsweise ist das
Möbiusband ein Faserbündel über dem Kreis, S 1 , wobei als Faser das reelle Intervall
[−1, 1] dienen kann.
Ein Schnitt S in einem Bündel B ist eine Teilmenge, die für jeden Punkt p der Basismannigfaltigkeit
M genau einen Punkt der Faser π −1 (p) enthält.
Beim Möbiusband, beispielsweise, gibt es, anders als in einem Produktbündel, keinen
Schnitt, der nicht mindestens eine Nullstelle hat. Ebenso läßt das Tangentialbündel der
Kugeloberfläche, T S 2, keinen Schnitt zu, der nicht in wenigstens einem Punkt verschwindet:
einen Igel kann man nicht (wirbelfrei) kämmen.
2 Diese Menge heißt auch Graph der Funktion f.
Kommutator
Wendet man ein Vektorfeld v auf Funktionen f an, so erhält man eine Funktion v(f). Sie
kann mit einem Vektorfeld u erneut differenziert werden. Die zweifache Differentation
uv ist linear, erfüllt aber nicht die Produktregel (A.12). Hingegen ist der Kommutator
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[u, v] = uv − vu =u m (∂mv n ) − v m (∂mu n )∂n . (A.23)
zweier Vektorfelder wieder ein Vektorfeld,
[u, v](f g) = (uvf) g +(vf) (ug)+(uf) (vg)+f (uvg) −u ↔ v = ([u, v]f) g +f ([u, v]g) .
(A.24)
Kotangentialraum
Dual zu Vektoren u ∈ Tp am Punkt p sind ihre linearen Abbildungen χ : u ↦→ χ(u) ∈ R
in die reellen Zahlen. Die linearen Abbildungen können addiert und mit reellen Zahlen
multipliziert werden und bilden an jedem Punkt p einen Vektorraum, den Dualraum T ∗
p
des Tangentialraumes Tp, den Kotangentialraum. Die Menge aller Paare von Punkten p
und Dualvektoren χ am Punkt p ist das Kotangentialbündel
T ∗ M
∗
= {(p, χ) : p ∈ M , χ ∈ Tp } . (A.25)
Ein duales Vektorfeld ω ist ein Schnitt des Kotangentialbündels, das heißt, eine Teilmenge,
die für jedes p ∈ M genau ein Paar (p, ω|p) ∈ T ∗ M enthält,
ω = {(p, ω|p) : p ∈ M , ω|p ∈ T ∗
p } ⊂ T ∗ M . (A.26)
Jede Funktion f definiert durch Anwenden von u|x auf f eine lineare Abbildung df|x
von Tagentialvektoren u|x = u n ∂n am Punkt x in die reellen Zahlen
df|x : u|x ↦→ u|x(f) = u m ∂mf|x . (A.27)
Dabei sind zwei Funktionen äquivalent und definieren denselben Kovektor bei x, wenn
dort ihre ersten Ableitungen übereinstimmen. Die Äquivalenzklasse von Funktionen, die
bei x dieselben Ableitungen wie f haben, und die zugehörige Abbildung von Tangentialvektoren
u ∈ Tx in die reellen Zahlen bezeichnen wir als df|x oder, kürzer, als das
Differential df oder die Änderung df.
Die Äquivalenzklassen dx n der Koordinatenfunktionen x n , die Koordinatendifferen-
tiale, bilden an jedem Punkt x die zur Basis ∂m des Tangentialraumes duale Basis des
Kotangentialraumes T ∗
x . Sie bilden also die Tangentialvektoren ∂m auf Eins oder Null
ab, je nachdem ob der Wert von m mit dem Wert von n übereinstimmt, 3
dx n (∂m) = ∂mx n = δm n , (A.28)
3 Das hierbei auftretende, doppelt indizierte Symbol δm n (lies delta m n) heißt Kronecker-Delta.