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112 5 Elektrodynamik
Antisymmetrisierte Ableitungen von antisymmetrischen Tensorfeldern mit unteren Indizes,
die wie (5.202) und (5.204) transformieren, transformieren ihrerseits wieder wie
∂ ein Tensorfeld mit einem zusätzlichen Index, denn störende zweite Ableitungen 2xl ∂x ′ r∂x ′ s
verschwinden durch die Antisymmetrisierung. Völlig analog zur Herleitung von (5.204)
aus dem Transformationsgesetz (5.202) folgt aus (5.204), daß die antisymmetrisierte Ableitung
von Fkl = −Flk wie ein Tensor transformiert
∂ ′ tF ′ rs + ∂′ rF ′ st + ∂′ ′
sF tr
∂xm
=
∂x ′ t
∂xk ∂x
∂x ′ r
l
∂x ′ s∂mFkl + ∂kFlm + ∂lFmk. (5.206)
Sind also die homogenen Maxwellgleichungen in einem Koordinatensystem erfüllt, so
auch in jedem anderen, denn der Sachverhalt, daß alle Komponenten eines Tensors verschwinden,
ist invariant unter Tensortransformationen.
Auch die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) sind invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen,
wenn wir die inhomogenen Maxwellgleichungen als Definition
der Ladungs- und Stromdichte lesen. Jedes Viererpotential Am(x) ist Lösung der
Maxwellgleichungen für irgendeine Ladungs- und Stromverteilung.
Aber Elektrovakuum, das ist ein Raumzeitgebiet mit j n (x) = 0, in dem zwar elektromagnetische
Feldstärken, nicht aber Ladungs- und Stromdichten vorhanden sind, ist
nicht unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant.
Um Invarianztransformationen von Elektrovakuum zu bestimmen, untersuchen wir
eine infinitesimalen Transformation, x ′ m = x m −ξ m , x m = x ′m +ξ m , und die zugehörige
Änderung δAs(x) = A ′ s (x) − As(x) des Vektorfeldes. Das Vektorfeld ξ m hängt zunächst
beliebig von x ab. Da wir nur in erster Ordnung in ξ m rechnen, ist ξ m (x) = ξ m (x ′ ), denn
wenn man ξ m (x + ξ) entwickelt, ist die Differenz von höherer Ordnung in ξ. Für die
partiellen Ableitungen ∂xl
∂x ′s erhalten wir daher δs l +∂sξ l und (5.202) lautet näherungsweise
A ′ s(x − ξ) = A ′ s(x) − ξ n ∂nA ′ s(x) = As(x) + (∂sξ n )An . (5.207)
Bis auf Terme höherer Ordnung ist ξ n ∂nA ′ s (x) = ξn ∂nAs(x). Also ändert sich As um
δAs(x) = ξ n ∂nAs + (∂sξ n )An . (5.208)
Dies ist die Lieableitung LξAs des Vektorfeldes A längs des Vektorfeldes ξ (A.149). Die
Feldstärken ändern sich um
δFrs(x) = ∂rδAs − ∂sδAr = ξ n ∂nFrs + (∂rξ n )Fns + (∂sξ n )Frn . (5.209)
Jedes Elektrovakuum wird in Elektrovakuum transformiert, wenn für alle Frs = −Fsr
und für alle ∂rFks, deren total antisymmetrischer Anteil ∂[rFks] = 0 verschwindet (A.66)
und die zu Elektrovakuum ∂ k Fks = 0 gehören, die Änderung der Strom- und Ladungsdichte
∂ k δFkl = ξ r ∂r∂ k Fkl +(∂ k ξ r )∂rFkl +(∂kξ r )∂ k Frl +(∂lξ r )∂ k Fkr +(∂ k ∂kξ r )Frl +(∂ k ∂lξ r )Fkr
(5.210)
5.8 Symmetrien 113
verschwindet. Die Terme mit Ableitungen von Frs haben im Elektrovakuum die Form
1
2 (∂kξrηls + ∂rξkηls − ∂sξrηlk − ∂rξsηlk + ηrkXls − ηrsXlk)∂ r F ks ,
Xls = 1
3 (∂sξl + ∂lξs − 2ηls∂tξ t ) ,
(5.211)
denn nur der in k und s antisymmetrische Teil trägt bei und ηrk∂ r F ks verschwindet. Die
Terme müssen sogar für beliebige ∂ r F ks verschwinden, ein etwaiger in r, k und s total
antisymmetrischer Anteil und ein Anteil proportional zu η rk oder η rs trägt nicht bei.
Daher müssen die Koeffizienten bei ∂ r F ks verschwinden
0 = ∂kξrηls + ∂rξkηls − ∂sξrηlk − ∂rξsηlk + ηrkXls − ηrsXlk . (5.212)
Summieren mit ηls ergibt die konforme Killinggleichung (E.74) der flachen, vierdimensionalen
Raumzeit
0 = ∂kξr + ∂rξk − 1 t
ηkr∂tξ (5.213)
2
als notwendige Bedingung an die infinitesimale Koordinatentransformation, damit sie
jedes Elektrovakuum auf Elektrovakuum abbildet.
Gemäß (E.85) folgt im flachen Raum aus der konformen Killinggleichung
∂s∂lξr = ηrsbl + ηrlbs − ηslbr . (5.214)
Damit bestätigt man leicht, daß die konforme Killinggleichung auch hinreichend für
das Verschwinden von (5.210) ist. Die Symmetrien von Elektrovakuum, die man aus
infinitesimalen Transformationen erzeugen kann, sind konforme Transformationen.
Damit auch die materieerfüllten Maxwellgleichungen unter konformen Transformationen
invariant sind, muß der Strom jl so wie ∂ k Fkl (5.210, 5.213) transformieren
δjl = ξ r ∂rjl + (∂lξ r )jr + 1
2 (∂rξ r )jl . (5.215)
Dies ist die infinitesimale Transformation einer Vektordichte (B.45) vom Gewicht 1/2
j ′ l (x′ ) =det ∂x
∂x ′
∂xs ∂x ′ l js(x(x ′ )) . (5.216)
Die Eigenschaften der Materie sind nicht unter der Symmetriegruppe der Maxwellgleichungen
invariant und können daher nicht nur aus den Maxwellgleichungen abgeleitet
werden: Freie Teilchen bewegen sich auf geraden Weltlinien. Diese Geraden werden nicht
von eigentlichen konformen Transformationen, sondern nur von Dilatationen (E.94) und
Poincaré-Transformationen, auf gerade Weltlinien abgebildet.
Zudem hat die Strahlung, die von angeregten Atomen und Molekülen ausgesendet
wird, charakteristische Frequenzen. Wenn man diese Frequenzen durch eine Dilatation
mit einem willkürlichen Faktor vergrößert, erhält man nicht die charakteristischen
Frequenzen von Atomen und Molekülen, die tatsächlich existieren.