papiersparender pdf-Version

122 6 Teilchen im Gravitationsfeld
6.2 Geodätische Linien und Beschleunigung
Die Metrik der Raumzeit bestimmt den Gang von Uhren, die auf Weltlinien Γ : s ↦→ x(s)
Ereignisse A = x(s) und B = x(s) durchlaufen. Zwischen diesen Ereignissen vergeht auf
einer idealen Uhr die Zeit
τ(B, A ; Γ) = 1
c
s
s
ds
dx k
ds
dx l
ds gkl(x(s)) . (6.4)
Freie Teilchen im Gravitationsfeld durchlaufen, wie wir in Abschnitt 7.3 ableiten, Weltlinien
Γ, auf denen diese Zeit zwischen irgend zwei genügend benachbarten 2 Ereignissen
A und B größer als auf allen anderen Linien wird, die ebenfalls A und B verbinden.
Diese Weltlinien heißen die zeitartig geodätischen Linien oder, weniger technisch, die
zeitartigen Geraden der gekrümmten Raumzeit mit Metrik gmn.
Für die Weltlinien x(s) freier Teilchen im Gravitationsfeld gelten also die Euler-
Lagrange-Gleichungen (4.33) mit der Lagrangefunktion (vergleiche mit (4.14))
L (x, ˙x) = −m cgkl(x) ˙x k ˙x l , (6.5)
wobei wir kurz ˙x k für dxk
ds schreiben. Die Eulerableitung (4.28) dieser Lagrangefunktion
ist
ˆ∂gkl ˙x k ˙x l
= ∂mgkl ˙x k ˙x l
=
ˆ∂x m
Bezeichnen wir mit
1
2gtu ˙x t ˙x
d
−
u ds
gml ˙x l
gtu ˙x t =
˙x u
2gtu ˙x t ˙x u∂mgkl ˙x k ˙x l − 2∂kgml ˙x k ˙x l−gml
u n =
˙x n
gkl ˙x k ˙x l
d
ds
˙x l
gtu ˙x t .
˙x u
(6.6)
(6.7)
den normierten Tangentialvektor und verwenden wir die Christoffelsymbole (C.106) als
Abkürzung für die auftretenden partiellen Ableitungen der Metrik
Γkl n = 1
2 gnm∂kgml + ∂lgmk − ∂mgkl, Γkl n = Γlk n , (6.8)
wobei g nm mit oberen Indizes die Komponenten der inversen Metrik (A.106) sind, so hat
die Eulerableitung die Form
ˆ∂gkl ˙x k ˙x l
ˆ∂x m
= −gmnd
ds un + dxk
ds Γkl n u l. (6.9)
2 Für beliebige Ereignisse A und B auf der Weltlinie freier Teilchen ist nur gesichert, daß die Weltlinie
stationäre Länge hat. Dies ist ähnlich wie bei einem Großkreis auf einer Kugeloberfläche. Sind zwei
Punkte auf dem Großkreis weiter als einen halben Kugelumfang entfernt, so ist die Weglänge auf dem
Großkreis kein lokales Minimum.
6.3 Effektives Gravitationspotential 123
Die Euler-Lagrange-Gleichungen legen die Parametrisierung der Weltlinie nicht fest.
Denn die Eigenzeit ist ein Funktional der Bahn, das nicht von der Parametrisierung ab-
hängt (4.4). Ist s(s ′ ) eine monotone, differenzierbare Funktion, so ist x ′ m (s ′ ) = xm (s(s ′ ))
wegen der Kettenregel d
ds ′ = ds
ds ′
d
ds genau dann eine Lösung, wenn xm (s) die Gleichungen
erfüllt.
Daher können wir als Parameter s die Zeit wählen, die die mitgeführte Uhr bei x(s)
anzeigt. Dann hat der Tangentialvektor konstantes Längenquadrat c 2 (4.6)
und die Eulerableitung vereinfacht sich.
c ˆ ∂gkl ˙x k ˙x l
ˆ∂x m
gtu ˙x t ˙x u = c 2 , (6.10)
gtu ˙x t ˙x u =c 2
= −gmn¨x n + Γkl n ˙x k ˙x l
Ist der Bahnparameter s die Eigenzeit, so ist der Vektor
b n = ¨x n + Γkl n ˙x k ˙x l
(6.11)
(6.12)
die Beschleunigung längs einer Weltlinie x m (s). Frei fallende Teilchen sind per Definition
unbeschleunigt. Ihre Weltlinien machen die zu (6.5) gehörige Wirkung extremal und
erfüllen in der Parametrisierung (6.10) die Geodätengleichung (C.114)
¨x n + Γkl n ˙x k ˙x l = 0 . (6.13)
Dabei braucht gmn ˙x m ˙x n = c 2 nur anfänglich gefordert werden. Längs einer geodätischen
Linie ändert sich das Längenquadrat des Tangentialvektors nicht
d
dsgmn ˙x m ˙x n=2¨x n ˙x m gmn + ˙x m ˙x n ˙x k ∂kgmn = 2b n ˙x m gmn = 0 . (6.14)
Ist eine Weltlinie durch ihre Eigenzeit parametrisiert, so hat ihr Tangentialvektor konstantes
Längenquadrat und ist senkrecht zur Beschleunigung b n . Sie hat daher für einen
Beobachter, der die Weltlinie durchläuft, nur räumliche Komponenten.
6.3 Effektives Gravitationspotential
Gravitation beeinflußt freie Teilchen dadurch, daß die Metrik gmn nicht mehr die flache
Metrik ηmn (4.107) ist, sondern eine Lösung der Einsteingleichungen. Die Einsteingleichungen
beschreiben den Einfluß von Energie- und Impulsstromdichten auf die Metrik.
Wir diskutieren sie später in Abschnitt 8.1 und verwenden hier das Ergebnis (8.37) von
Abschnitt 8.4, nämlich die Schwarzschildlösung der Einsteingleichungen. Diese Lösung
beschreibt die Gravitation außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung.
In der Schwarzschildmetrik hat das Längenquadrat (bei verschwindender kosmologischer
Konstante) außerhalb der Zentralmasse in Kugelkoordinaten (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) =
(c t, r, θ, ϕ) die Form
gkl(x) ˙x k ˙x l = c 2 (1 − r0
r ) ˙t 2 −
˙r 2
(1 − r0
r ) − r2 ˙ θ 2 − r 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 . (6.15)