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164 8 Dynamik der Gravitation
Eine kosmologische Konstante Λ = κVmin tritt also auf natürliche Art in jedem Materiemodell
auf. Sie ist in vielen Modellen ein unbestimmter Parameter, dessen Größe den
Beobachtungen entnommen werden muß.
Die kosmologische Konstante war von Einstein eingeführt worden, um ein statisches,
kosmologisches Modell in Übereinstimmung mit den damaligen astronomischen Befunden
zu konstruieren. Daß er seine ursprünglichen Gleichungen nicht ernst genug genommen
und daraus die Expansion des Universums vorausgesagt hatte, bezeichnete Einstein später
nach Hubbles Beobachtungen als seine größte Eselei. Die heutigen Beobachtungen
zeigen durch die Rotverschiebung der Galaxien, daß das Universum expandiert und nicht
statisch ist, allerdings trägt zur Expansion die kosmologische Konstante, die Vakuumenergiedichte,
stärker als alle anderen Energieformen bei.
8.3 Kugelsymmetrischer Einsteintensor
Ist die Metrik invariant unter Drehungen, dann hat sie in der Umgebung eines Punktes,
in dem ∂r raumartig ist, die Form (F.22)
gmndx m dx n = e ν(t,r) dt 2 − e µ(t,r) dr 2 − r 2dθ 2 + sin 2 θdϕ 2. (8.20)
Um zu klären, was die Einsteingleichungen besagen, berechnen wir die Christoffelsymbole
und daraus den Riemanntensor. Die Christoffelsymbole (C.106) liest man einfach aus den
ab (6.39)
Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrangefunktion LBahn = 1
2
ˆ∂LBahn
ˆ∂x l = −glkd2xk k dxm
+ Γmn
dλ2 dλ
gmn dxm
dλ
dx n
dλ
dx n
dλ, (8.21)
LBahn = 1
2e ν(t,r)dt
− e
µ(t,r)dr
− r
2dθ 2
+ sin θdϕ
(8.22)
dλ2. dλ2
dλ2
dλ2
Variiert man zum Beispiel t(λ), so ändert sich die Lagrangefunktion in erster Ordnung
um
δLBahn = 1
2 δt∂ν
∂t eνdt ν
+ e
dλ2 dδt dt 1
−
dλ dλ 2 δt∂µ
∂t eµdr
.
dλ2
Die Ableitung von δt faßt man zu einer vollständigen Ableitung zusammen
ν dδt dt d
e =
dλ dλ dλe ν δt dt
dλ−e ν δtd 2t ∂ν ∂ν dr dt
+ +
dλ2 ∂tdt
dλ2
∂r dλ dλ.
Demnach ist bis auf eine vollständige Ableitung
δLBahn = −e ν δtd 2t 1 ∂ν ∂ν dr dt 1 ∂µ
+ + + eµ−ν
dλ2 2 ∂tdt
dλ2
∂r dλ dλ 2 ∂tdr
dλ2
= −δt g0kd2xk k dxm dx
+ Γmn
dλ2 dλ
n
dλ.
Hieraus entnehmen wir die Christoffelsymbole Γmn 0 . Ebenso erhält man Γmn k für
k = 1, 2, 3 durch Variation von r, θ und ϕ. Statt die Komponenten durchzunumerieren,
8.3 Kugelsymmetrischer Einsteintensor 165
benennen wir sie im folgenden mit den Koordinaten: wir schreiben beispielsweise Γtt r
statt Γ00 1 . Die nichtverschwindenden Komponenten der Konnektion sind
Γtt t = 1
2 ˙ν Γtr t = Γrt t = 1 ′
ν Γrr
2 t = 1
2 eµ−ν ˙µ
Γtt r = 1
2 eν−µ ν ′
Γtr r = Γrt r = 1
2 ˙µ Γrr r = 1 ′
µ
2
Γθθ r = −re −µ
Γϕϕ r = −re −µ sin 2 θ Γrθ θ = Γθr θ = 1
r
Γϕϕ θ = − sin θ cosθ Γrϕ ϕ = Γϕr ϕ = 1
Γθϕ ϕ = Γϕθ ϕ (8.23)
= cotθ .
r
Dabei bezeichnet der Punkt die partielle Ableitung nach t und der Strich die Ableitung
nach r
∂ ∂
=˙ ,
∂t ∂r = ′ . (8.24)
Zur Berechnung des Riemanntensors kombiniert man die Komponenten der Konnektion
zu einer matrixwertigen Differentialform
Γm n = dx k Γkm n .
Γt
(8.25)
t = 1
˙ν + dr ν
′=
1
2dt
2 dν Γr t = 1
ν
2dt ′ + dr e µ−ν ˙µ
Γt r = 1
e
2dt ν−µ ν ′ + dr ˙µ
Γr r = 1
˙µ + dr µ
′=
1
2dt
2 dµ
Γθ r = −dθ r e −µ
Γϕ r = −dϕ re −µ sin 2 θ
Γr θ = dθ 1
r
Γθ θ = dr 1
Γϕ
r
θ = −dϕ sin θ cosθ Γr ϕ = dϕ 1
Γθ
r
ϕ = dϕ cotθ Γϕ ϕ = dr 1
(8.26)
+ dθ cotθ
r
Die Komponenten des Riemanntensors sind die Komponenten der Zweiform (A.70, A.86),
R = dΓm n − Γm r Γr n , (8.27)
in der Differentiale antikommutieren, dxkdxl = −dxldxk (A.73). Die Ableitung d ist die
äußere Ableitung d : f ↦→ df = dxm∂mf (A.92). Sie ist nilpotent
d 2 = dx m dx n ∂m∂n = 0 , (8.28)
weil die Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches Indexpaar
verschwindet (5.17) und weil vereinbarungsgemäß d(dxm ) = 0 gilt.
Mit diesen Rechenregeln bestätigt man leicht, daß die Komponenten des Riemanntensors
(C.76) die Komponenten der Zweiform (8.27) sind
Rm n = dΓm n − Γm r Γr n = dx k dx l∂kΓlm n − Γkm r Γlr n
= dx k dx l1
2∂kΓlm n − ∂lΓkm n − Γkm r Γlr n + Γlm r Γkr n
= dx k dx l1
2 Rklm n (8.29)
.