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316 G Die Noethertheoreme
Divergenz einer Phasenraumfunktion X kmln mit den Permutationssymmetrien des Riemanntensors
ist,
C mn = C nm und ∂mC mn = 0 ⇔
C mn = ∂k∂lX kmln , X klmn = −X lkmn = −X klnm , X klmn + X lmkn + X mkln = 0 .
(G.91)
Diese Identität gilt, obwohl sie nicht Tensoren betrifft.
Aus dem Poincaré-Lemma (G.59) folgt nämlich C mn = ∂kB kmn für jedes n, wobei
B kmn = −B mkn antisymmetrisch im ersten Indexpaar ist. Weil C mn symmetrisch ist,
gilt zudem
∂k(B kmn − B knm ) = 0 , (G.92)
also nach Poincaré-Lemma für jeden Wert des antisymmetrischen Indexpaares m n
B kmn − B knm = −2∂lA lkmn , A lkmn = −A klmn = −A lknm . (G.93)
Dies kann man nach B kmn auflösen, indem man die in klm zyklisch vertauschten Gleichungen
geeignet addiert und subtrahiert (C.102),
Für C mn = ∂kB kmn besagt dies
B kmn = −∂l(A lkmn + A lmnk − A lnkm ) . (G.94)
C mn = ∂k∂l(A lmkn + A knlm ) , (G.95)
wobei wir beim zweiten Term ausgenutzt haben, daß über ein symmetrisches Indexpaar
k, l summiert wird. Die Größe 3Y lmkn = A lmkn + A knlm ist antisymmetrisch in ersten
und im zweiten Indexpaar und symmetrisch unter Vertauschung der Indexpaare. Zieht
man von 3Y lmkn seinen total antisymmetrischen Anteil ab, so verändert sich C mn nicht,
C mn = 3∂k∂lY lmkn = ∂k∂lX lmkn , X lmkn = 2Y lmkn − Y mkln − Y klmn . (G.96)
Es ist aber die Größe X lmkn antisymmetrisch im ersten und im zweiten Indexpaar, symmetrisch
unter Vertauschung beider Paare und die Summe über die zyklischen Permutationen
der ersten drei Indizes verschwindet.
H Algebraische Identität
Aus der differentiellen Identität DmT mn = 0 folgt die algebraische Identität
G l mT m k = T l mG m k . (H.1)
Denn für die Kontraktion der zyklische Summe g kn ○ klm[Dk, Dl]Tmn gilt, wenn wir
DmT mn = 0, (C.54) und Tmn = Tnm sowie R n lm k Tkn = R n ml k Tkn verwenden,
D n DlTmn + DlDmT n n+DmD n Tln − DlD n Tmn − DmDlT n n − D n DmTln =
= D n (DlTmn − DmTln)) = − R n lm k Tkn − R n ln k Tmk + R n ml k Tkn + R n mn k Tlk =
=Rl k Tmk − Rm k Tlk .
(H.2)
Andererseits ist [Dk, Dl]Tmn = −Rklm rTrn − Rkln rTmr. Die zyklische Summe über Rklm n
verschwindet (C.60), und wir erhalten für die Summe gkn ○ klm[Dk, Dl]Tmn den entgegengesetzen
Wert
g kn ○
[Dk, Dl]Tmn = −Rl
klm
k Tmk + Rm k Tlk . (H.3)
Also verschwindet sie und es gilt auch (H.1), denn der Riccitensor R m n unterscheidet
sich vom Einsteintensor G m n nur um ein Vielfaches von δ m n.