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220 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
denn es gilt Φ ∗ ((Φ∗u)h) = u(Φ ∗ h) (A.139) und für h = (Φ∗v)f folgt Φ ∗ h = v(Φ ∗ f),
also Φ ∗ ((Φ∗u)(Φ∗v)f) = uv(Φ ∗ f), und, wenn wir den in u mit v vertauschten Ausdruck
abziehen, Φ ∗ ([Φ∗u, Φ∗v]f) = [u, v](Φ ∗ f) = Φ ∗ ((Φ∗[u, v])f) für alle Funktionen f.
Die Lieableitung der Metrik
Lξgmn = ξ k ∂kgmn + (∂mξ k )gkn + (∂nξ k )gmk
(A.155)
ist die infinitesimale Änderung der Metrik unter Abbildungen Φα : x ↦→ Φα(x). Ist die
Metrik invariant, so verschwindet diese Lieableitung und die zu ξ gehörigen Abbildungen
sind Isometrien. Das bilineare Gleichungssystem Lξgmn = 0, die nach Wilhelm Killing
benannte Killing-Gleichung, definiert bei gegebener Metrik alle infinitesimalen Isometrien
ξ, bei gegebenem Vektorfeld ξ alle Metriken gmn mit der zu ξ gehörigen Isometrie.
B Liegruppe und Liealgebra
B.1 Linksinvariante Vektorfelder
Eine Liegruppe G ist eine Mannigfaltigkeit, deren Punkte Gruppenelemente sind.
Jedes Gruppenelement g bewirkt durch Multiplikation von links oder rechts eine invertierbare
Selbstabbildung der Gruppe
Lg : h ↦→ gh , Rg : h ↦→ hg . (B.1)
Hintereinander ausgeführt genügen Lg und R g −1 derselben Gruppenverknüpfung wie die
Gruppenelemente
Lg2 ◦ Lg1 = Lg2g1 , R (g2) −1 ◦ R (g1) −1 = R (g2g1) −1 . (B.2)
Die Linksmultiplikation vertauscht mit der Rechtsmultiplikation
Lg2 ◦ Rg1 = Rg1 ◦ Lg2 . (B.3)
Folglich genügt auch die adjungierte Abbildung Adg = Lg ◦ R g −1
Adg : h ↦→ ghg −1
(B.4)
der Gruppenverknüpfung Adg2Adg1 = Adg2g1.
Betrachten wir eine Kurve Γ : s ↦→ k(s) in der Gruppe G, die für s = 0 das Einselement
e durchläuft. Ihr Tangentialvektor am Einselement δ|e heißt infinitesimale Transformation.
Die Kurve wird durch Linksmultiplikation auf Kurven Γh = LhΓ : s ↦→ hk(s)
abgebildet, die mit ihrer Ableitung nach s bei s = 0 an jedem Punkt h einen Tangentialvektor
δ|h definieren. Dieses Vektorfeld δ, das durch Linksmultiplikation aus einem
Vektor am Einselement entsteht, ist invariant unter Linksmultiplikation oder, kürzer,
linksinvariant. Denn die durch Linksmultiplikation verschleppte Kurve LgΓh stimmt mit
Γgh überein.
Die linksinvarianten Vektorfelder bilden einen Vektorraum mit derselben Dimension
wie die Gruppe G, denn durch das Einselement gibt es dim(G) Kurven Γ mit linear
unabhängigen Tangentialvektoren und zugehörigen linksinvarianten Vektorfeldern und
umgekehrt ist ein Vektorfeld auf der ganzen Gruppe durch die geforderte Linksinvarianz
festgelegt, wenn es an einem Punkt gewählt ist.
Sind zwei Vektorfelder u und v linksinvariant, so ist auch ihr Kommutator linksinvariant,
denn für jede Transformation y ↦→ y ′ von Punkten der Mannigfaltigkeit ist der