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4 1 Die Raumzeit
Gerade Weltlinien in der gekrümmten Raumzeit
Für jeden Beobachter steht ohne Bezug auf andere Körper auch im Vakuum fest, ob er
frei fällt oder beschleunigt ist. Das kann er zum Beispiel an einer Sanduhr oder an mitgeführten
Pendeln ablesen. Pendeln sie hin und her, so wirkt eine Beschleunigung senkrecht
zur Drehachse, ansonsten kreisen Pendel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
Ein Beobachter durchläuft im Laufe der Zeit eine Menge von Ereignissen. Diese Linie
in der Raumzeit ist seine Weltlinie. Für jedes frei fallende Teilchen liegt diese Weltlinie
fest, wenn man ein Ereignis angibt, das es durchläuft, und die Geschwindigkeit, mit der
es durchlaufen wird. Dem entsprechen ein Punkt auf der Weltlinie und die Richtung, mit
der die Weltlinie diesen Punkt durchläuft. Da diese Weltlinien nicht davon abhängen,
welche Teilchen sie durchlaufen, denn alle Teilchen fallen gleich, definieren die Weltlinien
frei fallender Teilchen eine geometrische Struktur, die Geraden der Raumzeit.
Wohlgemerkt, die Weltlinien freifallender Teilchen und von Licht sind Geraden der
vierdimensionalen Raumzeit, aber die dabei räumlich durchlaufenen Bahnen sind nicht
Geraden des dreidimensionalen Raumes. Durch jeden Punkt des Raumes gehen ja in jeder
Richtung mit unterschiedlicher Geschwindigkeit unterschiedliche Wurfparabeln. Sie sind,
anders als von Geraden zu fordern, nicht durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt.
Unter diesen räumlichen Fallkurven kann man bei gleichbleibender Gravitation wiederum
eine Klasse von Linien als Geraden auswählen und tut dies. Räumlich gerade sind
die Bahnen von Licht. Ob eine Kante gerade ist, prüft man durch Vergleich mit Licht:
man peilt an ihr entlang. Da Lichtstrahlen gravitativ abgelenkt werden, können sie sich
mehrfach schneiden und genügen nicht dem Parallelenaxiom. Sie sind Geraden eines
durch Gravitation gekrümmten Raumes. Wenn sich die Gravitation durch Bewegung
der Massen mit der Zeit ändert, dann definieren die Lichtstrahlen keine Geraden mehr,
denn dann durchläuft Licht auf dem Hinweg eine andere Bahn als auf dem Rückweg.
Zwar ist denkbar, in der Raumzeit andere Linien als Gerade zu bezeichnen, zum
Beispiel solche Weltlinien, die in irgendeinem Koordinatendiagramm mit dem Lineal
gezeichnet werden können. Aber solche Linien gehören nicht zu den geometrischen Eigenschaften
der Raumzeit, denn Testteilchen durchlaufen solche andere Weltlinien nur,
wenn man sie durch Kräfte dazu zwingt, die sich für verschiedene Teilchen unterscheiden.
Die einzigen von der Natur allgemein ausgezeichneten Weltlinien sind die Weltlinien frei
fallender Teilchen, dazu gehören auch die Weltlinien von Lichtpulsen im Vakuum.
Wer die Weltlinien frei fallender Teilchen gedanklich verfolgt, die in Abbildung 1.1 auf
verschiedenen Großkreisen die Erde umlaufen, erkennt, daß die Raumzeit gekrümmt ist.
Bezieht man, wie in Abbildung 1.2, in einem Diagramm der Raumzeit die Orte, die von
den Teilchen im Laufe der Zeit durchlaufen werden, auf eines der Teilchen, so pendelt
die ebenso gerade Weltlinie des zweiten Teilchens um die erste Weltlinie herum. Dies
zeigt, daß die Raumzeit gekrümmt ist, denn gerade Weltlinien können sich wiederholt
schneiden.
Grund für die Krümmung der Raumzeit und die relative Bewegung frei fallender Teilchen
ist, daß die Gravitation nicht überall gleich ist: die Erdanziehung wirkt auf erdnähere
Teilchen stärker und bei gleichem Abstand wirkt sie auf nebeneinander laufende
Teilchen in verschiedene Richtung. An der unterschiedlichen Gravitation kann man Or-
te und Richtungen physikalisch unterscheiden. Beschränkt man sich aber auf so kurze
Zeiten und so kleine räumliche Abstände, daß die Ungleichmäßigkeit
der Gravitation sich bei gegebener Meßgenauigkeit
nicht auswirkt, so wird in einem mitfallenden Bezugssystem
die Gravitation unmerklich. In genügend kleinen
Raumzeitgebieten ist die Raumzeit nicht merklich gekrümmt
und hat die geometrischen Eigenschaften eines flachen
Raumes.
Da man Gravitation nicht abschirmen kann, wir aber zunächst
die damit zusammenhängenden Verwicklungen vermeiden
möchten, beschränken wir uns in den ersten fünf
Kapiteln auf so kleine Zeitspannen und Raumgebiete, daß
gravitative Effekte nicht meßbar sind, oder wir berücksichtigen
gedanklich die bekannten Auswirkungen der Gravitation
und ziehen sie vom Verhalten physikalischer Systeme
ab.
Wenn man alle äußeren Einflüsse abschirmt und gravitative
Effekte vernachlässigt, dann kann man für ein Ereignis
Zeit
Ort
Abbildung 1.2: Geraden in
der gekrümmten Raumzeit
im Vakuum nicht seine Zeit und nicht seinen Ort ohne Bezug auf andere Ereignisse messen
– sowenig man auf See geographische Länge ohne Bezug auf Sonnenstand und Uhrzeit
in Greenwich oder ohne gps bestimmen kann. Denn physikalische Vorgänge laufen
überall und jederzeit gleich ab. Die Raumzeit ist homogen. Ebenso sind alle räumlichen
Richtungen gleich. Die Raumzeit ist isotrop.
Drehbewegung
Drehbewegung, die zeitliche Änderung von Richtungen, kann man, anders als gradlinige
Bewegung, ohne Bezug auf andere Körper, wie etwa die Fixsterne, messen. Sendet
man Licht in eine Richtung aus, dann sieht man das reflektierte Licht, wenn man sich
inzwischen gedreht hat, aus einer anderen Richtung zurückkommen, und man muß bei
einer Filmvorführung in eine Richtung projizieren und in eine andere Richtung schauen.
Nur wenn man sich nicht dreht, kommt reflektiertes Licht jeweils aus der Richtung zurück,
in die man es ausgesendet hatte. In drehenden Bezugssystemen sind Lichtstrahlen
nicht umkehrbar. Darauf beruhen Interferometer, die zum Beispiel in Flugzeugen oder
Raketen Drehbewegung mit einer Genauigkeit von 10 −8 Grad pro Sekunde messen [2, 4].
Die Situation, bei der man von einem Objekt umkreist wird, ist von eigener Drehung
physikalisch verschieden. Es kommt zwar in beiden Fällen das Licht vom Objekt
aus Richtungen, die sich im Laufe der Zeit ändern, aber wenn man sich nicht selbst
dreht, sieht man jeden einzelnen, vom Objekt reflektierten Lichtpuls aus der Richtung
zurückkommen, in die man ihn ausgesendet hatte.
Erstaunlicherweise stimmen diese durch lokale Eigenschaften festgelegten, drehungsfreien
Bezugssysteme mit großer Genauigkeit überein mit den Systemen, in denen das
Licht von Sternen aus Richtungen einfällt, die sich im Laufe der Zeit nicht ändern, wenn
man von Sternbewegung, Parallaxe und Aberration absieht. Dies ist nicht selbstver-
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