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60 4 Relativistische Teilchen
und nach partieller Integration erhält man für die Differenz δτ
δτ = − 1
s
ds δxód
(4.9)
c dsdx dsdx ds2−1.
s
Randterme treten bei der partiellen Integration nicht auf, da auch die variierte Weltlinie
durch A und B geht und da demnach δx(s) = 0 und δx(s) = 0 ist. Für eine Weltlinie
extremaler Zeitdauer verschwindet δτ für alle Funktionen δx, die diese Randbedingungen
erfüllen. Die Funktionen x(s) müssen daher die Differentialgleichungen
d
ds
dx
ds
( dx
ds
)2 = 0 (4.10)
erfüllen, die besagen, daß der Einheitsvektor in Richtung der Tangente konstant ist.
Die Länge des Tangentialvektors dx wird nicht festgelegt, da die Zeit τ, wie in (4.4)
ds
gezeigt, nicht von der Parametrisierung der Weltlinie abhängt.
Gleichung (4.10) ist notwendig dafür, daß die Zeit τ sich nicht in erster Ordnung in δx
ändert, das heißt, daß die Zeit stationär ist: Wäre der Faktor bei δxm zu einem Zeitpunkt
größer Null, so wäre er in einer ganzen Umgebung dieses Punktes größer Null. Wählte
man dann ein δxm , das außerhalb dieser Umgebung verschwindet und innerhalb dieser
Umgebung positiv ist, so wäre δτ negativ und die Zeit τ auf der Weltlinie nicht stationär.
Wählt man die Parametrisierung so, daß der Tangentialvektor konstante Länge c hat
dx
= c
ds2
2 , (4.11)
dann stimmt der Bahnparameter s bis auf Wahl des Nullpunktes mit der Uhrzeit τ auf
der Weltlinie überein und Gleichung (4.10) besagt, daß die Beschleunigung b = d2x ds2 längs
der Bahn verschwindet, daß der Tangentialvektor konstant ist
d2x = 0 (4.12)
ds2 und daß die Weltlinie extremaler Zeit durch
s
x(s) =
v 2
1 − c2c (4.13)
v+x(0)
gegeben ist. v und x(0) werden durch die Anfangs- oder Randbedingungen festgelegt.
Bei vorgegebenen Anfangs- und Endpunkten ist die Gerade in der Raumzeit eindeutig
festgelegt. Auf ihr ist die Zeit nicht nur stationär, sondern extremal. Die extremale Zeit
τ(B, A; Γ) ist auf der geraden Weltlinie von A nach B größer als auf einer Weltlinie mit
Knick. Die extremale Zeit ist also maximal.
Da freie Teilchen definitionsgemäß gerade Weltlinien durchlaufen, ist die Eigenzeit
(4.8) bis auf einen Normierungsfaktor ihre Wirkung
WTeilchen[x] = −m c dsdx
. (4.14)
ds2
Die physikalisch durchlaufenen Bahnen erfüllen die Bewegungsgleichung (4.10), auf ihnen
ist bei festgehaltenen Randpunkten die Wirkung (4.14) minimal.
4.3 Wirkungsprinzip
4.3 Wirkungsprinzip 61
Abbildungen von Funktionen in die reellen Zahlen nennt man Funktionale. Zum Beispiel
ordnet die Weglänge den Funktionen xm (t) die Länge der Bahn zu. 2 Kann man ein
Funktional durch eine Reihe in den Funktionen xm (t) darstellen, so ist es von der Form
W[x] =
1
dt1dt2 . . . dtn fm1m2...mn(t1, t2, . . .,tn)ó
n n!
(4.15)
óx m1 (t1)x m2 (t2) . . .x mn (tn)
mit irgendwelchen Koeffizientenfunktionen fm1m2...mn(t1, t2, . . .,tn). Die Koeffizientenfunktionen
heißen auch n-Punkt-Funktionen. Sie sind total symmetrisch unter jeder
Permutation π :1, 2, . . ., n↦→π(1), π(2), . . ., π(n)der Argumente
fm1m2...mn(t1, t2, . . .,tn) = fm π(1)m π(2)...m π(n) (tπ(1), tπ(2), . . .,tπ(n)) . (4.16)
Lokale Funktionale, wie zum Beispiel die Weglänge, sind spezieller von der Form
W[x] = dt L (t, x(t), ˙x(t)) . (4.17)
Der Wert solch eines lokalen Funktionals summiert sich aus Beiträgen von allen Zeiten
und macht zu jedem Zeitpunkt t nur Gebrauch von einer Funktion L der Zeit t, des Ortes
x, der Geschwindigkeit ˙x = d x und eventuell höherer, aber endlich hoher, Ableitungen
dt
von x.
Die Größen t, x, x(n) = ( dx
dt )nx, n = 1, 2 . . . nennen wir Jet-Variable. Auf den Jet-
Variablen wirkt d d durch dt dtt = 1, auf die n-te Ableitung x(n) angewendet, bewirkt d
dt die
Erhöhung der Ableitungsbezeichnung d
dtx(n) = x(n+1) .
Die Funktion L (t, x, ˙x), die im Integranden des lokalen Funktionals auftritt, heißt
Lagrangefunktion. Sie ist eine Funktion der Jet-Variablen und ist zu unterscheiden von
der verketteten Funktion L(t) = L (t, x(t), ˙x(t)), die man erhält, wenn man die Variablen
x und ˙x auf einer Bahn x(t) durch die Funktionen x(t) und ˙x(t) ersetzt. Man kann zwar
L (t, x, ˙x) nach x, nicht aber L(t) nach x(t) ableiten.
Physikalische Systeme sind durch ein lokales Funktional, die Wirkung, charakterisiert.
Mit der Wirkung lassen sich Bewegungsgleichungen unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem
formulieren und der Zusammenhang von Symmetrie und Erhaltungsgrößen
klären.
Wie (4.57) zeigen wird, setzt sich, falls die Energie erhalten ist, die Lagrangefunktion
mit Koeffizienten 1/(n − 1) aus den Anteilen En der Energie zusammen, die homogen
vom Grad n in den Geschwindigkeiten ˙x sind,
L = En
. (4.18)
n − 1
n
2 Wir benennen in den nächsten zwei Abschnitten den Bahnparameter nicht mit s, sondern mit t. ˙x steht
für die Ableitung von x nach dem Bahnparameter. Der Index m zählt die Freiheitsgrade ab und läuft
von 1 bis zur Anzahl N der Freiheitsgrade. Wir verwenden die Einsteinsche Summationskonvention.
Jeder in einem Term doppelt vorkommende Index enthält die Anweisung, über seinen Laufbereich zu
summieren.