202 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten um ±1, weil sie in genau einem Paar aus (π(1), π(2), . . ., π(n)) ändern, ob die linksstehende Zahl größer als die rechtsstehende ist. Aus (l, k +1) = (k, k +1) ◦(l, k) ◦(k, k +1) folgt dann durch Induktion, daß jede Paarvertauschung die Fehlstellung einer Permutation um eine ungerade Anzahl ändert. Es läßt sich jede Permutation π aus Paarvertauschungen zusammensetzen. Wenn die Fehlstellung a(π) gerade (ungerade) ist, muß die Zahl dieser Paarvertauschungen gerade (ungerade) sein. Also gibt sign(π) an, ob π aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von Paarvertauschungen zusammengesetzt ist, und es gilt Dichten und Inhalte sign(π ′ ◦ π) = sign(π ′ ) sign(π) . (A.40) Ladung, Energie, Teilchenzahl und ähnliche additive Größen können in Mannigfaltigkeiten oder Untermannigfaltigkeiten der Dimension p kontinuierlich verteilt sein. Der Inhalt eines Bereiches B ergibt sich dabei als Integral über eine Dichte pro Weg, pro Fläche oder pro Volumen, das sich über den Bereich B erstreckt. Je nach Dimension p des Bereichs heißt die zugehörige Dichte p-Form. Für p = 1 ist die Arbeit, die längs eines Weges Γ : [s, ¯s] → M geleistet wird, ein Integral über eine Arbeitsdichte pro Weg, die Kraft. Sie hat Komponentenfunktionen ωm, ¯s A[Γ] = ds ωm(x(s)) s dxm ds = ¯s ds ω(u) . (A.41) s Die Arbeit längs Γ hängt nicht vom Koordinatensystem ab, wenn ω ein Kovektorfeld ist, das auf der Kurve Tangentialvektoren u in die reellen Zahlen abbilden. Sie hängt auch nicht von der Parametrisierung des Weges ab, und läßt sich daher kurz als A[Γ] = ω (A.42) Γ schreiben, denn sei s eine monoton zunehmende Funktion von s ′ , so besagen die Kettenregel und der Integraltransformationssatz ¯ s ′ s ′ ds ′ ωm(x(s(s ′ ))) ds ds ′ dxm ds = s( s ¯′ ) s(s ′ ds ωm(x(s)) ) dxm . (A.43) ds Bei konstanter Stromdichte fließt durch ein p = 2-dimensionales Parallelogramm mit Kantenvektoren a und b der Gesamtstrom J(a, b). Er definiert die 2-Dichte J, die Stromdichte, die bilinear Paare von Vektoren (a, b) auf Zahlen abbildet, J(λ1a+λ2c, b) = λ1 J(a, b)+λ2 J(c, b) , J(a, λ1 b+λ2c) = λ1 J(a, b)+λ2 J(a,c) . (A.44) Nach dem Cavalierischen Prinzip bleibt der Strom ungeändert, wenn man zu b ein beliebiges Vielfaches von a hinzufügt, denn dabei ändert sich nicht die Flächengröße. a b J(a, b) = J(a, b + λa) a Abbildung A.1: Cavalierisches Prinzip Der Strom J(a, b) verschwindet, falls a = b ist, J(a,a) = 0 . Daher ist J antisymmetrisch unter Vertauschung der beiden Argumente, b + λa 0 = J(a + b,a + b) = J(a,a) + J(a, b) + J( b,a) + J( b, b) = 0 + J(a, b) + J( b,a) + 0 , 203 J(a, b) = −J( b,a) . (A.45) Es ist J der Strom in Normalenrichtung des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Er wechselt sein Vorzeichen, wenn man a und b vertauscht. Man kann Stromdichten addieren und vervielfältigen, folglich bilden sie einen Vektorraum L2: den Vektorraum der in zwei Vektoren linearen, unter Permutation antisymmetrischen (die Mathematiker sagen ” alternierenden“) Abbildungen in die reellen Zahlen. Da Stromdichten, angewendet auf ein Paar von Kantenvektoren eines Parallelogramms, eine Zahl ergeben, definieren Parallelogramme Vektoren des zu L2 dualen Vektorraums, nämlich die lineare Abbildung a ∧ b, gesprochen ” a Keil be“ oder ” a Dach be“, die Stromdichten J auf den Strom J(a, b) abbildet, (a ∧ b) : J ↦→ J(a, b) . (A.46) Weil die Stromdichten antisymmetrisch und bilinear sind, ist das Keilprodukt (oder Dachprodukt) antisymmetrisch und distributiv in beiden Faktoren, a ∧ b = − b ∧a , (A.47) (λ1a + λ2 b) ∧c = λ1a ∧c + λ2 b ∧c , a ∧ (λ1 b + λ2c) = λ1a ∧ b + λ2a ∧c . (A.48) Dabei sind Summen und Vielfache der Keilprodukte definiert als Summen und Vielfache der linearen Abbildungen, die sie bewirken. Schreiben wir a = ema m und b = enb n als Linearkombinationen einer Basis e1,e2 . . ., so erweist sich das Keilprodukt a ∧ b wegen der Distributiveigenschaften und der Antisymmetrie des Keilproduktes als Linearkombination der Produkte em ∧ en mit m < n. a ∧ b = a m b n em ∧ en = (a m
204 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten und dies ist nur dann die Nullabbildung von Stromdichten, wenn diese Summe für alle Stromdichten verschwindet. In einem d-dimensionalen Raum hat der Raum der Stromdichten so wie sein Dualraum die Dimension d(d − 1)/2. In mehr als drei Dimensionen sind nicht alle Elemente u des Dualraumes L∗ 2 Produkte a ∧b, sondern L∗ 2 besteht aus Linearkombinationen von Produkten. Für den Strom durch (a, b), ausgedrückt durch die Komponenten, ergibt sich die Doppelsumme J(a, b) = (a ∧ b) J = (a m
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