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92 5 Elektrodynamik
Komplex differenzierbare Funktionen
Komplexe Funktionen f(z) = u(x, y) + i v(x, y) hängen komplex differenzierbar von
z = x + i y ab, wenn sich ihre Änderung
df = dx∂xu + dy ∂yu + i (dx∂xv + dy ∂yv) = dx (∂xu + i ∂xv) + dy (∂yu + i ∂yv) (5.77)
linear in dz = dx + i dy als df = dz df
schreiben läßt. Wegen
dz
df = (dx + i dy) (∂xu + i ∂yv) − i dy(∂xu − ∂yv) + i (∂yu + ∂xv) (5.78)
erfordert komplexe Differenzierbarkeit die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
∂xu = ∂yv , ∂xv = −∂yu . (5.79)
Folglich sind u wegen ∂x∂xu = ∂x∂yv = ∂y∂xv = −∂y∂yu und ebenso v harmonische
Funktionen der zwei Variablen x und y. Umgekehrt gehört zu jeder reellen, harmonischen
Funktion u(x, y) eine komplex differenzierbare Funktion f(z), die bis auf eine Konstante
bestimmt ist. Darauf beruht die Bedeutung von Funktionentheorie für Potentialprobleme
in zwei Raumdimensionen.
Eichtransformation
Die homogenen Maxwellgleichungen (5.10) besagen, daß die Feldstärken Fkl(x) die antisymmetrisierten
Ableitungen von vier Potentialfunktionen Al(x) sind
Fkl(x) = ∂kAl(x) − ∂lAk(x) . (5.80)
Feldstärken von dieser Form lösen die homogenen Maxwellgleichungen, denn die linke
Seite von (5.10) ist total antisymmetrisch unter Permutationen und die Reihenfolge von
partiellen Ableitungen kann vertauscht werden, ∂k∂lAm − ∂l∂kAm = 0 .
Umgekehrt überprüft man durch Differenzieren, daß in sternförmigen Gebieten, die
mit jedem Punkt x auch die Verbindungsstrecke zum Ursprung enthalten, die antisymmetrisierten
Ableitungen des folgenden Viererpotentials (A.99) die Feldstärken ergeben.
1
Al(x) = dλ λx m Fml(λx)
∂kAl − ∂lAk =
=
0
1
dλλδ
0
m k Fml(λx) + λx móλ(∂kFml)| (λx)−k ↔ l
1
dλ2λFkl(λx) + λ
0
2 x m (5.81)
(∂kFml − ∂lFmk)| (λx)
Verwenden wir im letzten Term Fml = −Flm und die homogene Maxwellgleichung (5.10)
−∂kFlm − ∂lFmk = ∂mFkl, so folgt die Behauptung
1
∂kAl − ∂lAk =
0
1
= dλ
0
∂
∂λλ 2 Fkl(λx)=λ 2 Fkl(λx) λ=1
λ=0 = Fkl(x) .
dλ2λFkl(λx) + λ 2 x m∂mFkl| (λx)
(5.82)
5.4 Die elektrodynamischen Potentiale 93
Die Komponente A0 heißt skalares Potential φ. Die räumlichen Komponenten faßt man
zum Vektorpotential A = (−A1, −A2, −A3) zusammen. Mit diesen Bezeichnungen besagt
(5.80) für das magnetische und das elektrische Feld
B = rot A , E
−−→ 1 ∂
= − gradφ −
c ∂t A . (5.83)
Wegen ∂k∂lχ = ∂l∂kχ folgt aus (5.80), daß sich die Feldstärken nicht ändern, wenn
man zum Viererpotential Al die Ableitung einer Funktion χ hinzufügt
A ′ l = Al + ∂lχ . (5.84)
Diese Abänderung des Viererpotentials heißt Eichtransformation. Das skalare Potential
φ und das Vektorpotential A ändern sich unter einer Eichtransformation um
φ ′ = φ + 1 ∂
c ∂t χ , A ′
= A −−→
− gradχ . (5.85)
Viererpotentiale, die sich nur um eine Eichtransformation unterscheiden, können nicht
physikalisch voneinander unterschieden werden.
Relativistische Quantenfeldtheorie liefert einen tiefliegenden Grund für Eichinvarianz,
der über den ästhetischen Reiz einer Symmetrie weit hinaus geht [31]. Ein quantisiertes
Viererpotential Am erzeugt Zustände mit negativer Norm. Sie machen sich nur dann nicht
als negative und daher widersinnige Wahrscheinlichkeiten in physikalischen Prozessen
bemerkbar, wenn die physikalischen Vorgänge eichinvariant sind.
Setzt man die Lösung Fkl = ∂kAl − ∂lAk (5.80) der homogenen Maxwellgleichungen
in die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) ein und verwendet man zur Abkürzung
die Schreibweise
so erhält man
∂ m = η mk ∂k , (∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) = (∂0, −∂1, −∂2, −∂3) , (5.86)
A n = η nl Al , (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) = (φ, A) = (A0, −A1, −A2, −A3) , (5.87)
∂m∂ m A n − ∂m∂ n A m = 4π
c jn . (5.88)
Im zweiten Term können die Ableitungen vertauscht werden ∂m∂ n A m = ∂ n ∂mA m , und
durch Wahl der Eichung kann man erreichen, 7 daß dieser Term verschwindet
∂mA m = 0 (5.89)
und jede der vier Potentialfunktionen A n einer inhomogenen Wellengleichung
A n = 4π
c jn
(5.90)
7 Diese Eichung geht schon auf den dänischen Physiker Ludvig Valentin Lorenz, nicht erst auf Hendrik
Antoon Lorentz, zurück [34, 35].