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6 Teilchen im Gravitationsfeld
6.1 Metrik
Das Längenquadrat von Tangentialvektoren am Punkt x ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie
nicht durch (2.43), sondern allgemeiner durch
dx
dsódx
ds
dxm dx
:=
ds
n
ds gmn(x) (6.1)
gegeben. 1 Die Funktionen gmn(x) sind die Komponenten der Metrik
gmn(x) = gnm(x) , (6.2)
die wir als Skalarprodukt gmn = g(∂m, ∂n) = ∂mó∂n der Tangentialvektoren ∂m an die Koordinatenlinien
deuten können. Die Metrik einer gekrümmten Raumzeit ist x-abhängig.
In der flachen Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie mit Längenquadrat (2.43) hat
die Metrik in kartesischen Koordinaten die Form (4.107)
gflach mn = ηmn . (6.3)
Auch in gekrümmten Räumen gibt es für jeden Punkt x, aber nicht für alle Punkte gemeinsam,
Koordinatensysteme, so daß dort die Metrik mit der Metrik der flachen Raumzeit
übereinstimmt gmn|x = ηmn. Geometrische Eigenschaften kleiner Objekte, auf deren
Abmessungen sich die Metrik nicht wesentlich ändert, und Abläufe von Ereignissen, während
derer sich die Metrik nicht wesentlich ändert, stimmen daher in der Allgemeinen
Relativitätstheorie und der Speziellen Relativitätstheorie überein. Insbesondere gelten
in kleinen Raumzeitbereichen die geometrischen Konstruktionen, aus denen wir Zeitdehnung
und Verkürzung bewegter Maßstäbe abgelesen haben und die darauf beruhen, daß
Längenmessungen mit festen Meßlatten dieselben Werte ergeben wie Laufzeitmessungen
mit Licht. Die Lichtgeschwindigkeit ist also in kleinen Raumzeitgebieten konstant. In
größeren Raumzeitgebieten stehen keine starren Meßlatten zur Verfügung, Lichtstrahlen
werden vom Gravitationsfeld schwerer Körper abgelenkt. Bei großen Abständen und
über lange Zeiten werden Begriffe wie ” konstante Lichtgeschwindigkeit“, ” gleichzeitige
Ereignisse“ oder ” räumlicher Abstand“ physikalisch unwichtig und unwirklich.
1 Wir verwenden die Einsteinsche Summationskonvention. Jeder in einem Term doppelt vorkommende
Index enthält die Anweisung, über seinen Laufbereich, hier von 0 bis 3, zu summieren.