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284 E Konforme Abbildungen
auf der rechten Seite (E.81, E.74, E.76, E.77) einsetzen, erhalten wir ein lineares Glei-
chungssystem für ξk, ǫ, ωkl und bk. Beispielsweise tritt ǫ mit den Koeffizienten 3d
d−2 Rkl n
auf, wobei Rkl n der Cottontensor (E.18) ist. Nur wenn der Weyltensor Wmnkl und der
Cottontensor verschwinden, ist der Raum maximal konform symmetrisch.
Auch die Koeffizienten des linearen Gleichungssystems bei ξk, ωkl und bk verschwinden,
wenn der Weyltensor und der Cottontensor verschwinden.
Jeder maximal konform symmetrische Raum ist also konform flach. Umgekehrt erfüllt
jeder konform flache Raum die notwendigen Bedingungen für die Existenz einer maximalen
Anzahl konformer Killingfelder. Der Satz von Frobenius besagt, daß dann das Gleichungssystem
(E.74, E.76, E.77, E.81) zumindest in einer genügend kleinen Umgebung
eine Lösung hat, die durch die an einem Punkt frei wählbaren Werte von ξm, ωmn, ǫ, bm
festgelegt ist. Dies sind (d + 2)(d + 1)/2 Werte.
Auf welchen Mannigfaltigkeiten M die konformen Killingfelder und die dazu gehörigen
konformen Transformationen mit nullstellenfreiem konformen Faktor existieren, zeigt die
Untersuchung der Liealgebra der konformen Killingfelder.
Liealgebra der konformen Killingfelder
Die Menge der konformen Killingfelder ist eine Liealgebra: sind ξ m 1 ∂m und ξ m 2 ∂m zwei
konforme Killingfelder, so hat ihr Kommutator [ξ2 m ∂m, ξ1 n ∂n] = ξ3 n ∂n wegen (E.74) die
Komponenten
ξ3 n = ξ2 m Dmξ1 n − ξ1 m Dmξ2 n = ξ2 m ω1 m n − ξ1 m ω2 m n + ξ n 2ǫ1 − ξ n 1ǫ2 . (E.83)
Insbesondere ist Dmξ3 n wegen (E.76, E.77) von der Form ω3 mn + ǫ3gmn und ξ3 m ∂m ist
folglich ein konformes Killingfeld
ω3 mn = ω2m l ω1 ln − ω1 m l ω2 ln + ξ2 k ξ1 l (Rknml − Rkmnl)−
− ξ2mb1 n + ξ1mb2 n + ξ2 nb1 m − ξ1 nb2 m ,
ǫ3 = ξ2ób1 − ξ1ób2 .
(E.84)
Der maximal konform symmetrische Raum ist konform flach. Wir können daher die
maximale konforme Liealgebra im flachen Raum ablesen. Dort vereinfachen sich die
Gleichungen (E.74, E.76, E.77, E.81)
∂mξn = ωmn + ǫηmn , ∂kωmn = −ηkmbn + ηknbm ,
∂mǫ = bm , ∂mbn = 0
und können mit Konstanten bm, a, Ωmn = −Ωnm und t m integriert werden
bm(x) = bm ,
ǫ(x) = xób + a ,
ωmn(x) = −xmbn + xnbm + Ωmn ,
ξ m (x) = t m + Ω m l x l + ax m − 2bóxx m + b m xóx .
(E.85)
(E.86)
E.4 Konforme Killinggleichung 285
Das konforme Killingfeld ξ m (x) setzt sich zusammen aus infinitesimalen Translationen
mit d Parametern tm , Lorentztransformationen mit d(d−1)
Parametern Ωmn = −Ωnm,
2
einer Dilatation mit einem Parameter a und aus eigentlich konformen Transformationen
mit d Parametern bm . Folglich bilden die konformen Killingfelder des flachen Raumes
einen Vektorraum der Dimension (d+2)(d+1)
, genauso wie die Liealgebra infinitesimaler
2
Lorentztransformationen in d + 2 Dimensionen.
Diese Übereinstimmung der Dimension ist nicht zufällig. Die konformen Killingfelder
ξ = ξm∂m in Rp,q bilden die Liealgebra der Lorentzgruppe SO(p + 1, q + 1) in einer
Raumzeit mit einer zeitartigen und einer raumartigen Dimension mehr.
Denn jedes ξ ist eine Linearkombination
ξ = 1
2 Ωab lab = Ω 0s l0s + 1
2 Ωrs lrs + Ω sN lsN + Ω 0N l0N , (E.87)
wobei die Indizes a und b die Werte von 0 bis N = p + q + 1 und die Indizes r und s die
Werte 1 bis p + q durchlaufen, von Basisvektorfeldern lab = −lba
lrs = xr∂s − xs∂r , l0s = 1
2 (x2 − 1)∂s − xsx r ∂r ,
lNs = 1
2 (x2 + 1)∂s − xsx r ∂r , l0N = −x r ∂r .
(E.88)
Man rechnet einfach nach, daß diese Vektorfelder der Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen
(B.17) mit η00 = 1 und ηNN = −1 genügen.
Man kann die Liealgebra auch durch weitere Differentation, b3 m = ∂mǫ3, aus (E.84)
im flachen Raum Rklmn = 0 mit Hilfe von (E.85) bestimmen
ξ3 n = ξ2 m ω1 m n − ξ1 m ω2 m n + ξ n 2 ǫ1 − ξ n 1 ǫ2 ,
ω3 mn = ω2 m l ω1 ln − ω1m l ω2 ln − ξ2 mb1 n + ξ1 mb2 n + ξ2 nb1 m − ξ1nb2 m ,
ǫ3 = ξ2ób1 − ξ1ób2 ,
b3 n = b2 m ω1 m n − b1 m ω2 m n − b2 n ǫ1 + b1 n ǫ2 .
(E.89)
Dies ist mit den Definitionen ω0m = −ωm0 = 1 √ 2 (ξm +bm), ωmN = −ωNm = 1
√ 2 (ξm −bm)
und ω0N = −ωN0 = −ǫ die Liealgebra (B.14) von SO(p + 1, q + 1)
ω3ab = ω2a c ω1cb − ω1 a c ω2 cb , (E.90)
wobei a, b und c die Werte 0, 1, . . .N = p + q + 1 durchlaufen und η00 = −ηNN = 1 ist.
Die Stabilitätsgruppe eines Punktes p, genauer ihr mit der Identität zusammenhängender
Teil, wird von den konformen Killingfeldern erzeugt, die bei p verschwinden ξm = 0. |p
Dort liest man die zugehörige Unterliealgebra von (E.89) ab
ω3 mn |p = ω2 m l ω1 ln − ω1 m l ω2 ln ,
ǫ3 |p = 0 ,
b3 n |p = b2 m ω1 m n − b1 m ω2 m n − b2 n ǫ1 + b1 n ǫ2 .
(E.91)