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88 5 Elektrodynamik
Daher ist nach dem Gaußschen Satz
Iε(y) = d
∂Vε
2 fó
1 −−→
1
gradφ(x) −−−→
grad
|x − y|
|x − y|φ(x)
= d
∂Vε
2 fó (5.54)
1 −−→ x − y
gradφ(x) + φ(x).
|x − y|
|x − y| 3
Der Rand von Vε besteht aus dem Rand von V und der Kugelfläche ∂Kε, ∂Vε = ∂V +∂Kε .
Dabei ist zu beachten, daß der Normalenvektor d2 f = d2f n beim Flächenintegral (5.54)
aus Vε heraus in die Kugel Kε um y hinein zeigt. Auf der Kugelfläche ∂Kε gilt
1 1
=
|x − y| ε ,
x − y 1
= − n . (5.55)
|x − y| 3 ε2 Das Integral über den ersten Term verschwindet im Grenzfall ε → 0,
d
∂Kε
2 fó
1 −−→
gradφ(x) =
|x − y|
1
d
ε ∂Kε
2 fó−−→
gradφ(x) −→ 0 , (5.56)
denn nach dem Integralmittelwertsatz ist es gleich einem Wert von (nó−−→
gradφ) an einer
Stelle der Kugelfläche mal der Größe der Kugeloberfläche 4πε 2 geteilt durch ε.
Im zweiten Term des Integranden ist das Skalarprodukt das Negative des Produkts der
Beträge. Nach dem Mittelwertsatz gilt für eine Zwischenstelle z auf der Kugelfläche ∂Kε
d
∂Kε
2 f x − y 1
φ(x) = −
|x − y| 3 ε2
d
∂Kε
2 f φ(x) = − 4πε2
φ(z) . (5.57)
ε2 Da z für ε gegen Null gegen den Mittelpunkt y von Kε strebt, geht das Integral über ∂Kε
dabei gegen −4πφ(y).
Insgesamt erhalten wir also
d
V
3
1
x ∆φ(x) = d
|x − y| ∂V
2 fó
1 −−→ x − y
gradφ(x) +
|x − y|
|x − y| 3 φ(x)−4πφ(y) (5.58)
und nach φ(y) aufgelöst
φ(y) = − 1
d
4π V
3 x ∆φ(x)
1
+ d
|x − y| 4π ∂V
2 fó
1 −−→ x − y
gradφ(x) +
|x − y|
|x − y| 3 φ(x). (5.59)
Jede in V zweifach stetig differenzierbare Funktion φ ist durch ∆φ und ihre Randwerte
auf ∂V festgelegt.
Da für eine räumlich beschränkte Ladungsverteilung das elektrostatische Potential
(5.50) für große Abstände verschwindet und sein Gradient schneller als 1/r gegen Null
geht, verschwinden in (5.59), wenn man V = R3 wählt, die Randterme. Dann löst (5.50)
für inselförmige Ladungsverteilungen die Poisson-Gleichung mit verschwindenden Randwerten.
Harmonische Funktionen
5.4 Die elektrodynamischen Potentiale 89
Harmonisch nennt man Funktionen ϕ eines Gebietes V , die die Laplace-Gleichung
∆ϕ = 0 (5.60)
erfüllen. Beispielsweise ist das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum harmonisch.
Für harmonische Funktionen ϕ verschwindet nach Gaußschem Satz das Flächenintegral
über die Randfläche von V über die Normalenableitung (es ergibt ja die in V
enthaltene Ladung),
d
∂V
2
fó−−→
gradϕ = d
V
3 x∂i∂iϕ = 0 . (5.61)
Für einen inneren Punkt y im Gebiet V betrachten wir eine Kugel KR,y ⊂ V um y mit
einem Radius R . Die Darstellung (5.59) zweifach stetig differenzierbarer Funktionen gilt
auch für V = KR,y . Dabei verschwindet, weil ϕ in KR,y harmonisch ist, das Volumenintegral
und nach (5.61) auch das Oberflächenintegral über die Normalenableitung von ϕ,
denn sie wird mit einem konstanten Faktor 1/R integriert. Es verbleibt der Mittelwert
MR,y[ϕ] von ϕ auf der Kugelfläche um y mit Radius R
ϕ(y) = MR,y[ϕ] = 1
4πR 2
∂K R,y
d 2 f ϕ(x) . (5.62)
Da die harmonische Funktion ϕ(y) gleich ihrem Mittelwert auf umhüllenden Kugelflächen
ist, nimmt sie ihr Minimum und Maximum auf dem Rand jedes Gebietes V an, in
dem sie harmonisch ist. Insbesondere hat ein elektrostatisches Potential im ladungsfreien
Gebiet keine Mulde, es gibt keine elektrostatische Falle für geladene Teilchen.
Eine leitende Oberfläche ist nach Abklingen aller Ströme eine Äquipotentialfläche.
Umschließt sie ein ladungsfreies Gebiet, so ist das Potential auch im Inneren konstant,
denn es hat Werte zwischen dem Minimum und Maximum, das auf dem Rand angenommen
wird. Folglich verschwindet in einem Faraday-Käfig die elektrische Feldstärke.
Verschwindet auf ∂V die Normalenableitung ni∂iϕ einer harmonischen Funktion,
0 = − d 3
xϕ∆ϕ = d 3
x∂iϕ ∂iϕ − d 2 f n i
ϕ ∂iϕ = d 3 x (∂iϕ) 2 , (5.63)
V
V
∂V
so verschwindet ∂iϕ in V und ϕ ist konstant.
Demnach ist jede Lösung φ der Poisson-Gleichung −∆φ = ρ durch ρ und ihre Werte
auf dem Rand festgelegt. Denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichem ρ und gleichen
Randwerten ist eine Lösung der Laplace-Gleichung, die auf dem Rand verschwindet und
folglich im Inneren verschwindet,
∆φ = −4π ρ , ∆χ = −4π ρ , φ|∂V = χ|∂V = f ,
∆(φ − χ) = 0 , (φ − χ)|∂V = 0 , ⇒ φ − χ = 0 .
V
(5.64)
Durch ihre Normalenableitung auf dem Rand ist jede Lösung bis auf eine Konstante
festgelegt, denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichen Normalenableitungen hat
verschwindende Normalenableitung und ist konstant.
Weil ϕ 2 und (∂iϕ) 2 nicht negativ sind, zeigt (5.63) auch, daß auf Gebieten ohne Rand
der Laplace-Operator keine positiven Eigenwerte hat, ∆ϕ = λϕ ⇒ λ ≤ 0 .