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190 8 Dynamik der Gravitation
Dies ergibt die Integrationskonstanten
c − = 0 , c + = (1 + cosθ)(h cos(2ϕ) + k sin(2ϕ)) ,
c 1 = − 1
2 sin θ(h cosϕ + k sin ϕ) , c2 = − 1
sin θ(−h sin ϕ + k cos ϕ) ,
2
(8.163)
wobei h = h(x(0)) und k = k(x(0)) die Werte von h und k beim Start des Lichtstrahls
bezeichnen. Wir setzen in (8.161) ein und integrieren ein zweites Mal über λ. Auf der
rechten Seite ersetzen wir mit (1 − cosθ)dλ = dx−
dλ dλ = dx− die Integrationsvariable
x −
δx − = 0 , δx + 1 + cosθ
=
1 − cosθ x− dx((h − h) cos(2ϕ) + (k − k) sin(2ϕ)) ,
δx 1
sin θ x− =
1 − cosθ x− dx( (h − 1
1
h) cosϕ + (k − k) sin ϕ) ,
2 2
δx 2
sin θ x− =
1 − cosθ x− dx(−(h − 1
1
h) sin ϕ + (k − k) cosϕ) .
2 2
(8.164)
Die Änderung des Lichtstrahls hat zur Folge, daß er erst beim Parameterwert λ = l+δλ
die Spiegelebene {y : (y−x)ón = l} erreicht. Wir setzen y = x+δx = x+(l+δλ)n+δx(l)
ein und lösen nach δλ auf
−δλ = δx+ − δx −
2
cosθ + sin θ(δx 1 cos ϕ + δx 2 sin ϕ) . (8.165)
Damit erhalten wir schließlich die Laufzeitveränderung ∆1x 0 = dx0
dλ δλ + δx0 = δλ + δx 0
während des Hinweges, wobei x 0 = 1
2 (x+ − x − ) und x − (l) = x − = l(1 − cosθ) + x − ist,
∆1x 0
1 + cos θ x− +l(1−cos θ)
= −
2 x− dx (h(x) cos(2ϕ) + k(x) sin(2ϕ)) . (8.166)
Der Rückweg verläuft in umgekehrter Richtung θ ′ = π − θ, ϕ ′ = ϕ + π. Auf ihm ändert
sich die Laufzeit folglich um
∆2x 0
1 − cosθ x− +2l
= −
2 x− dx (h(x) cos(2ϕ) + k(x) sin(2ϕ)) . (8.167)
+l(1−cos θ)
Ist das Interferometer kurz im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle, dann
kann man die beiden Integrale mit dem Zwischenwertsatz nähern: das Integral für ∆1x 0
ist Intervallänge l(1 − cosθ) mal einem Zwischenwert des Integranden und es gilt etwa
x+l(1−cos θ)
x
dx (h(x) . . . ) ≈ (1 − cosθ)
x+l
x
dx (h(x) . . .) . (8.168)
Entsprechendes gilt für ∆2x 0 . Zusammengenommen ist ∆τ = ∆1x 0 + ∆2x 0 etwa
∆τ ≈ −H(t, l) a+(θ, ϕ) − K(t, l) a×(θ, ϕ) (8.169)
wobei die Funktionen
H(t, l) = 1
2
8.10 Nachweis von Gravitationswellen 191
t
t−2l
dxh(x) , K(t, l) = 1
2
t
t−2l
dxk(x) (8.170)
die Amplituden der Gravitationswelle über die Laufzeit im Interferometer integrieren
und die Winkelabhängigkeit durch Produkte der Komponenten des Richtungsvektors n
gegeben ist
a+(θ, ϕ) = nxnx − nyny = sin 2 θ cos(2ϕ) , a×(θ, ϕ) = 2nxny = sin 2 θ sin(2ϕ) . (8.171)
Dies Ergebnis für ∆τ behält seine Form, wenn der Lichtstrahl mehrfach im Interferometer
gespiegelt wird, bevor man das Interferenzbild ausliest.
Gegenüber Licht in einem gleichlangen, zweiten Interferometerarm in Richtung (θ ′ , ϕ ′ )
ist die Laufzeit um δτ verschoben,
δτ ≈ −H(t, l)a+(θ, ϕ) − a+(θ ′ , ϕ ′ )−K(t, l)a×(θ, ϕ) − a×(θ ′ , ϕ ′ ). (8.172)
Daher beobachtet man eine zeitliche Änderung der Interferenz beider Strahlen
dδτ
dt
− h(t − 2l) a+(θ, ≈ −h(t) ϕ) −a+(θ
2
′ , ϕ ′ )−
k(t) − k(t − 2l) a×(θ, ϕ) −a×(θ
2
′ , ϕ ′ ).
(8.173)
Dieses Detektorsignal ist proportional zur Amplitude der Gravitationswelle. Es wird
nicht ein Energieübertrag von der Gravitationswelle auf den Detektor gemessen, er wäre
quadratisch in h und k, sondern die Änderung der Phasenverschiebung der Lichtstrahlen.
Daher nimmt die Empfindlichkeit des Detektors als Funktion des Abstands r zur Quelle
der Gravitationswelle wie 1/r und nicht wie 1/r 2 ab.
Es gibt eine für den Gravitationswellennachweis optimale Verweildauer des Lichts
im Detektor, nämlich die halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle. Bei längerer
Verweildauer vermindert sich das Signal wieder.
Das gleiche Verschwinden des Signals bei langer Wechselwirkungsdauer ergibt eine
feldtheoretische Rechnung. Die Wechselwirkung von Licht und Gravitationswelle ist in
niedrigster Ordnung durch die Entwicklung von WMaxwell (7.62) gegeben
WPhoton, Graviton = 1
8πc
d 4 x ¯ h mn (FmkFn k − 1
4 ηmnFrsF rs ) . (8.174)
Sie erlaubt die Absorption eines Gravitons durch ein Photon, das dadurch in ein Photon
mit geändertem Impuls und Energie übergeht. Wäre die Wechselwirkungszone von
Licht und Gravitationswelle groß und die Wechselwirkungsdauer lang, so gäbe es Impulserhaltung
und Energieerhaltung. Aber dann wäre solch eine Absorption unmöglich,
denn Photonen und Gravitonen sind masselos und die Summe der Viererimpulse masseloser
Teilchen hat eine positive Masse (3.57), gehört also nicht wieder zu einem Photon.
Dauert die Wechselwirkung nur eine halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle, so
ist die Energieunschärfe von der Größenordnung der Energie ω des Gravitons und die
Absorption eines Gravitons ist möglich.