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160 7 Äquivalenzprinzip
Amplitude am als komplexen Einheitsvektor em, die Polarisationsrichtung, mal Betrag
|a| = √ −a n a ∗ n, am = |a|em, und berücksichtigen wir (7.104), so erhalten wir für ε = 0
Wie wir gleich zeigen, hat die Bewegungsgleichung (7.101)
|a|k m Dmen = 0 . (7.105)
(2k m Dm + (Dmk m ))(k n an,j + iD n an,j−1) = i D m Dmk n an,j−1 + iD n an,j−2 (7.106)
zur Folge. Demnach 6 gilt die Lorenzeichung
k n an,j + iD n an,j−1 = 0 (7.107)
überall, wenn sie zur Anfangszeit x 0 = 0 erfüllt ist, und wenn sie für j −1 überall erfüllt
ist. Denn dann erfüllt die Größe (k n an,j + iD n an,j−1) längs der Lichtstrahlen eine linear
homogene Differentialgleichung und verschwindet zur Anfangszeit. Sie verschwindet
daher überall.
Wir bestätigen (7.106) mit der Geodätengleichung k m Dmk n = 0 und (7.101)
(2k m Dm + (Dmk m ))(k n an,j + iD n an,j−1)
= k n (2k m Dm + (Dmk m ))an,j + iD n (2k m Dm + (Dmk m ))an,j−1−
− i[D n , 2k m Dm + (Dmk m )]an,j−1
= − ik n (D m Dman,j−1 + Rn l al,j−1) + D n (D m Dman,j−2 + Rn l al,j−2)−
− i[D n , 2k m Dm + (Dmk m )]an,j−1
= − i D m Dmk n an,j−1 + iD n an,j−2+
− i[k n , D m Dm]an,j−1 + k n Rn l al,j−1 + [D n , 2k m Dm + (Dmk m )]an,j−1+
+ [D n , D m Dm]an,j−2 + D n (Rn l al,j−2) .
(7.108)
Wegen Dmkn = Dnkm (7.97), Rmn = Rnm (7.68) und [Dm, Dn]v l = Rmnk l v k (C.54)
verschwindet die vorletzte Zeile, ebenso verschwindet die Zeile mit den an,j−2 -Termen.
Damit ist (7.106) mit etwas Rechnung gezeigt.
Dies schließt unsere Diskussion der Geodätenhypothese ab. Die Feldgleichungen erlauben
herzuleiten, daß sich Testteilchen und Lichtstrahlen so verhalten, wie wir das für
unsere geometrischen Konstruktionen unterstellt haben. Aus rein geometrischen Gründen
kann man zunächst nicht ausschließen, daß Paralleltransport mit Torsion einhergeht
oder metrikunverträglich ist. Formuliert man allerdings die Bewegungsgleichungen
der Elektrodynamik und der Materie als Variationsprinzip eines Funktionals, das unter
Eichtransformationen und Koordinatentransformationen invariant ist, so sind solche
allgemeineren Geometrien nicht bei den Weltlinien von Testteilchen und Lichtpulsen
realisiert.
6 Ich verdanke Volker Perlick die Beweisidee.
8 Dynamik der Gravitation
8.1 Einstein-Hilbert-Wirkung
Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie besagen, daß die Wirkung
W[g, φ] = WMetrik[g] + WMaterie[g, φ] , (8.1)
bei der g die Metrik und φ alle weiteren Felder bezeichne, für physikalische Felder stationär
ist unter allen Variationen der Metrik, die außerhalb beschränkter Gebiete verschwinden.
Dabei ist die Wirkung lokal, also ein Integral über eine Lagrangedichte, und invariant
unter Koordinatentransformationen. Diese Forderung beschränkt in Raumzeiten
gerader Dimension die möglichen Lagrangedichten LMetrik darauf, ein Produkt des Volumenelements
√ g (I.14) mit einem skalaren Feld zu sein, das aus Komponenten des
Riemanntensors und seinen kovarianten Ableitungen besteht [44]. Falls die zugehörigen
Bewegungsgleichungen zudem zweiter Ableitungsordnung sein sollen, so ist in der vierdimensionalen
Raumzeit dieses skalare Feld eine Linearkombination des Krümmungsskalars
R = g kl Rkml m , (8.2)
der zum Riemanntensor der metrikverträglichen, torsionsfreien Konnektion (C.106) gehört,
und einer Konstante Λ, die kosmologische Konstante heißt
WMetrik = 1
d
2κ
4 x √ g (R − 2Λ) . (8.3)
Dies ist die Einstein-Hilbert-Wirkung mit kosmologischer Konstante. Wie wir sehen werden
(8.104), ist der Vorfaktor κ durch die Newtonsche Gravitationskonstante G gegeben.
Der Integrand ist eine Dichte: wertet man ihn für eine transformierte Metrik
′ l ∂x
∂xn g′ kl (x′ (x)) (8.4)
k ∂x′
gmn(x) =
∂xm aus, wobei x ′ (x) eine Koordinatentransformation bezeichnet, so gilt
√
g R(x) =
det ∂x ′
g
∂x
′ R ′ (x ′ (x)) , (8.5)
denn für das Volumenelement √ g gilt der Determinantenproduktsatz und R ist ein
Skalarfeld (A.128). Nach Integralsubstitutionssatz ist demnach die Wirkung der Metrik
gmn(x) und der transformierten Metrik g ′ mn (x) gleich
d 4 x √
g(R −2Λ) = d 4 x ′g ′ (R ′ (x ′
)−2Λ) = d 4 xg ′ (R ′ (x)−2Λ) ,
x-Bereich
x ′ -Bereich
x-Bereich
(8.6)