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208 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Das Integral (A.76) hängt nicht von der Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit
F ab. Ist nämlich x m (s ′ (s)) durch Parameter s ′ parametrisiert, die ihrerseits invertierbar
von s abhängen, dann gilt
∂
∂s ixm (s ′ (s)) =
und wegen der Definition (I.6) der Determinante
j1 ∂s′ i1i2...ip
ε
∂si1 und des Integralsubstitutionssatzes
D
′ j2 ∂s
∂s
i2 . . . ∂s′ jp
∂s′ j
∂s i
∂xm , (A.78)
∂s ′ j
∂s′
=det ip ∂s ∂sε j1j2...jp (A.79)
d p sdet ∂s′
∂sf(s ′
(s)) =
D ′ =s ′ d
(D)
p s ′ f(s ′ ) (A.80)
ist das Integral (A.76) über den Bereich D der Parameter s dem Integral
D ′
d p ′ 1
s
p!
∂xm1
εj1j2...jp
∂s ′ j1
über den Bereich D ′ = s ′ (D) der Parameter s ′ gleich.
∂xm2 ∂xmp
. . .
∂s ′ j2 ∂s ′ jp ωm1m2...mp(x(s ′ )) (A.81)
Das Integral
F ω hängt wegen (A.75) auch nicht vom Koordinatensystem ab, sondern
nur von der Untermannigfaltigkeit F und der p-Form ω. Es ist auch keine Metrik zur
Messung von Kantenlängen und Winkeln erforderlich.
Stokesscher Satz
Ist spezieller p = 1 und die Untermannigfaltigkeit F eine Kurve Γ : s ↦→ x(s) von
x = x(0) zu ¯x = x(1), so definiert die Einsform ω das Kurvenintegral
Γ
1
ω = ds
0
dxm
ds ωm(x(s)) . (A.82)
Es ist ein Funktional der Kurve Γ und hängt normalerweise nicht nur von den Endpunkten
ab.
Um die Abhängigkeit vom Weg zu untersuchen, betrachten wir eine Kurve Γ1, die bei
festgehaltenen Endpunkten durch Verformung aus einer Kurve Γ0 hervorgeht. Das heißt:
es gebe eine einparametrige Schar von Kurven Γt : s ↦→ x(t, s), 0 ≤ t ≤ 1, von x nach ¯x,
x(t, 0) = x, x(t, 1) = ¯x.
Als Abbildung des zweiparametrigen Bereiches betrachtet sei x(t, s) eine Fläche F.
Sie wird berandet von dem zusammengesetzten, geschlossenen Weg Γ = Γ1 − Γ0 von x
längs Γ1 nach ¯x und dann längs der rückwärts durchlaufenen Kurve Γ0 zurück nach x.
Wir bezeichnen den Rand von F mit ∂F (lies Rand von F) und notieren
Γ = Γ1 − Γ0 = ∂F . (A.83)
Die Integrale über die Kurven Γt ändern sich mit dem Parameter t um
d 1
ω = ds∂
dt Γt 0
2xm ∂t∂s ωm(x(t, s)) + ∂xm ∂x
∂s
n
∂t
1
= ds
0
∂
∂s∂x m
∂t ωm(x(t, s))+ ∂xm ∂x
∂s
n
∂x nωm
∂t∂x nωm − ∂x mωn.
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(A.84)
Der ∂
∂xn
-Term kann integriert werden und ergibt Null, denn verschwindet für s = 0
∂s ∂t
und s = 1. Integrieren wir schließlich über t von t = 0 bis t = 1, so erhalten wir
ω − ω = ω = dt ds∂x
Γ1 Γ0 Γ
n ∂x
∂t
m ∂xn ∂x
−
∂s ∂s
m
∂t1
2∂xnωm − ∂xmωn. (A.85)
Die rechte Seite ist das Integral (A.76) über die Fläche F, die von Γ berandet wird, und
dessen Integrand die Zweiform
dω = dx n dx m1
2 (∂nωm ∂mωn − (A.86)
ist. In dieser Notation formulieren wir (A.85) kurz und knapp als Stokesschen Satz
dω = ω . (A.87)
F
Falls dω (A.86) überall verschwindet, liegt der Spezialfall der Integrabilitätsbedingung
(A.36) vor, in dem a nur einen Wert annimmt, i die Werte 1 bis d durchläuft und ui a
nicht von y abhängt. Das Kurvenintegral
1
f(¯x) = f(x) + ω = f(x) + ds
Γ
0
dxm
ds ωm(x(s)) (A.88)
ist die Lösung von (A.37) für s = 1 und definiert nach dem Satz von Frobenius in
einfach zusammenhängenden Gebieten, in denen alle Verbindungskurven zweier Punkte
ineinander verformt werden können, eine bis auf die Integrationskonstante f(x) eindeutige,
von der Verbindungskurve Γ unabhängige Funktion f des Endpunktes ¯x, die die
Differentialgleichung (A.35)
∂mf = ωm
(A.89)
löst. In einfach zusammenhängenden Gebieten gilt folglich für Einsformen ω das Lemma
von Poincaré
∂mωn − ∂nωm = 0 ⇔ ∃f : ωm = ∂mf ,
(A.90)
dω = 0 ⇔ ∃f : ω = df .
Gleichung (A.88) ist die eindimensionale Version des Stokesschen Satzes
df = f = f(¯x) − f(x) , (A.91)
Γ
∂Γ
wenn wir Funktionen f als Nullformen auffassen, deren nulldimensionales Integral über
einen Punkt einfach den Funktionswert ergibt. Der Rand der Kurve Γ trägt orientiert
bei: auf die Kurve bezogen wird der Endpunkt ¯x nach außen und der Anfangspunkt x
nach innen durchlaufen.
∂F