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114 5 Elektrodynamik
Daß die Poincaré-Gruppe und nur die Poincaré-Gruppe als Untergruppe der konformen
Gruppe physikalisch mögliche Abläufe aufeinander abbildet, kann man nicht logisch
aus den Maxwellgleichungen ableiten, sondern nur aus Beobachtungen auch anderer physikalischer
Sachverhalte erschließen, die nicht von den Maxwellgleichungen beschrieben
werden.
Die Lagrangedichte der Maxwell-Wirkung (5.188) ändert sich unter einer infinitesimalen
Koordinatentransformation (5.209) um
δFrsF rs=2(ξ n ∂nFrs + ∂rξ n Fns + ∂sξ n Frn)F rs
= ∂nξ n FrsF
rs+2(−
1
2 ηlr∂nξ n + ∂rξl + ∂lξr)F l sF rs .
(5.217)
Solch eine Transformation ist eine Symmetrie der Wirkung, wenn sich die Änderung der
Lagrangedichte identisch in den Jet-Variablen An und ∂mAn als Ableitungen schreiben
läßt, wenn also die Euler-Ableitung von δ(FrsF rs ) verschwindet (G.62). Dazu ist notwendig
und hinreichend, daß der letzte Term in (5.217) verschwindet und ξ m die konforme
Killinggleichung (E.62) erfüllt. Die Maxwellwirkung ist unter konformen Transformationen,
nicht aber unter allgemeinen Koordinatentransformationen, invariant.
Die Maxwell-Lagrangedichte ist invariant unter Eichtransformationen
δΛAs = ∂sΛ , (5.218)
denn die Feldstärken Fmn = ∂mAn − ∂nAm ändern sich nicht, wenn man zum Viererpotential
einen Vierergradienten hinzufügt. Ergänzen wir jede konforme Transformation
um eine Eichtransformation mit Λ = −ξ n An, so treten im Transformationsgesetz des
Viererpotentials keine Ableitungen von ξ m auf und das Viererpotential transformiert
mit eichinvarianten Feldstärken
δkombiniertAs(x) = ξ n ∂nAs + (∂sξ n )An − ∂sξ n An=ξ n Fns . (5.219)
Zu jedem konformen Killingfeld ξ m gehört eine Symmetrie der Maxwellwirkung unter
der kombinierten Transformation und nach dem Noethertheorem der erhaltene Strom
(G.21)
j k kombiniert
= − 1
4πc(ξ n Fnl)F kl − 1
4 ξk FrsF rs=ξnT nk , (5.220)
T kl = − 1
4πcF k nF ln − 1
4 ηkl FmnF mn. (5.221)
Dabei sind T kl die Komponenten des Energie-Impulstensors (5.24).
Die Komponenten des Energie-Impulstensors sind als Energiedichte T 00 , Energiestrom
T 0i , Impulsdichten T i0 und Impulsströme T ij , i, j ∈ {1, 2, 3}, der elektromagnetischen
Felder zu deuten, denn per Definition ist die Energie die Erhaltungsgröße, die zur Invarianz
der Wirkung unter Zeittranslationen ξ m = (1, 0, 0, 0) gehört, und der Impuls gehört
zur Invarianz unter räumlichen Translationen, zum Beispiel zu ξ m = (0, 1, 0, 0).
Da die räumlichen Komponenten T ij des Energie-Impulstensors Impulsstromdichten
sind, ergeben sie, mit einem räumlichen Flächenelement d 2 f n j kombiniert, den pro Zeit
5.8 Symmetrien 115
durchfließenden Impuls F i = T ij n j d 2 f. Endet dieser Impulsstrom an einer Grenzfläche
und gilt insgesamt Impulserhaltung, so nimmt die Grenzfläche pro Zeit diesen Impuls auf.
Auf die Grenzfläche wirkt also die Kraft F. Insbesondere bewirkt der Anteil T ij = pδ ij
des Energie-Impulstensors auf jede Grenzfläche eine Kraft pro Fläche in Normalenrichtung,
das heißt: bei einem ruhenden Medium ist p der Druck.
Ein gleichförmig bewegter Beobachter, der das Ereignis mit den Poincaré-transformierten
Koordinaten x ′ m = Λ m nx n +a m durchläuft, mißt dort elektromagnetische Feldstärken
(5.204)
F ′ mn (x′ ) = Λm k Λn l Fkl(x) . (5.222)
Es stimmen nämlich die Elemente Λ −1 k m der inversen Lorentzmatrix wegen Λ T ηΛ = η
(D.21) mit Λm k = ηmnΛ n l η lk überein, Λ T −1 = ηΛη −1 .
Für die Komponenten E i = F0i und B k = −ǫkijFij/2 des elektrischen und magnetischen
Feldes besagt das Transformationsgesetz insbesondere, wenn wir die Summation
aufspalten,
E ′ i = (Λ0 0 Λi j − Λ0 j Λi 0 )E j + Λ0 j Λi k (−ǫjklB l ) ,
B ′ n = − 1
2 ǫnij(Λi 0 Λj k − Λi k Λj 0 )E k + Λi k Λj l (−ǫklmB m ).
(5.223)
Dabei sind, falls sich der Beobachter mit Geschwindigkeit v in Richtung n bewegt und
unverdrehte Richtungen verwendet,
Λ 0 0 = γ , Λ 0 i = Λ i 0 = −γvn i , Λ i j = δ i j + (γ − 1)n i n j , γ = 1/ √ 1 − v 2 , (5.224)
die Komponenten der Lorentzmatrix (3.9). Der bewegte Beobachter mißt folglich
E ′ = γ E + nó E (1 − γ)n + γv n × B ,
B ′ = γ B + nó B (1 − γ)n − γv n × E ,
B ′ = B , B ′ ⊥ =
(5.225)
oder, wenn wir die Felder in ihre Anteile parallel und senkrecht zur Bewegungsrichtung
n zerlegen,
E ′
= E , E ′ 1
⊥ = √
1 − v2 ( E⊥ + v × B) ,
1
√
1 − v2 ( B⊥ − v × (5.226)
E) .
Es ist bemerkenswert, daß diese ungleiche Transformation der parallelen und senkrechten
Anteile zur Folge hat, daß das elektrische Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung
jederzeit zu dem Ort zeigt, an dem es augenblicklich ist: Ein bei x = 0 ruhendes
Teilchen der Ladung q erzeugt bei (t, x, y, z) das elektrische Feld
E(t, x, y, z) = q
r3r (5.227)
Die y- und z-Komponenten des elektrischen Feldes erscheinen einem Beobachter, der
sich mit Geschwindigkeit v entgegen der x-Achse bewegt, um 1/ √ 1 − v2 vergrößert,
E ′ x , E′ y , E′ 1 q
z= √
1 − v2 (x2 + y2 + z2 ) 3/2√
1 − v2x, y, z, (5.228)