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196 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Mit den Koordinaten φα können wir jede reelle Funktion der Mannigfaltigkeit
f :M → R
p ↦→ f(p)
in der Umgebung φαUα als die Funktion fα der Koordinaten x angeben,
fα = f ◦ φ −1
α
(A.4)
. (A.5)
Im Koordinatensystem x ′ (x) = Nβα(x) gilt in φβ(Uα ∩Uβ) für die entsprechend definierte
Funktion fβ
fβ = fα ◦ Nαβ . (A.6)
Traditionell schreibt man f ′ und x ′ für fβ und φβ(p) und läßt bei fα und x = φα(p) den
Hinweis α auf das Koordinatensystem φα weg. Dann besagt die letzte Gleichung für zwei
Koordinatendarstellungen einer Funktion der Mannigfaltigkeit
f ′ (x ′ (x)) = f(x) oder f ′ (x ′ ) = f(x(x ′ )) . (A.7)
Eine Funktion, deren Darstellungen in verschiedenen Koordinatensystemen so miteinander
zusammenhängen, heißt Skalarfeld.
Kurven und Tangenten
Eine Weltlinie Γ ist ein Weg oder eine Kurve in der Raumzeit, das heißt, eine Abbildung
eines reellen Intervalls I in die Mannigfaltigkeit
Γ :I ⊂ R → M
s ↦→ p(s)
In Koordinaten φα ist sie durch d reelle Funktionen
. (A.8)
Γα = φα ◦ Γ : s ↦→ (x 0 (s), x 1 (s), . . .,x d−1 (s)) (A.9)
einer reellen Variablen s gegeben. Die Koordinatenfunktionen s ↦→ x ′ (s) = x ′ (x(s))
derselben Kurve Γ ergeben sich einfach durch Verkettung mit der Koordinatentransformation,
Γβ = Nβα ◦ Γα . (A.10)
Wenn wir es nicht ausdrücklich anders sagen, beschränken wir uns auf zusammenhängende
Mannigfaltigkeiten, in denen jeder Punkt durch einen Weg mit jedem anderen
Punkt verbunden werden kann.
Durchläuft Γ den Punkt p = Γ(ˆs) und sei f aus dem Raum Fp der Funktionen, die
in einer Umgebung von p definiert sind, dann definiert f in einer Umgebung von ˆs die
Funktion f ◦ Γ. Ihre Ableitung bei ˆs ist eine Abbildung von Fp in die reellen Zahlen,
u :
Fp → R
f ↦→ u(f) = d f ◦ Γ , p = Γ(ˆs)
ds |ˆs
. (A.11)
Die Abbildung u ist linear und genügt der Produktregel. Sie ist der Tangentialvektor u
an die Kurve Γ im Punkt p,
u(f1 + f2) = u(f1) + u(f2) , u(c f) = c u(f) ∀c ∈ R ,
u(f1óf2) = u(f1)f2 + f1u(f2) .
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(A.12)
Bezeichnen wir, wie üblich, 1 mit x die φα-Koordinaten und mit f die Koordinatendarstellung
fα , so besagt die Kettenregel für f ◦ Γ = fα ◦ Γα ,
u(f) = d
ds
dxm
f(x(s))|ˆs =
ds |ˆs ∂m| f(x) . (A.13)
x(ˆs)
Tangentialvektoren an Kurven durch p bilden einen Vektorraum Tp, den Tangentialraum
am Punkt p, denn Summe und Vielfache von linearen Abbildungen u sind wiederum
Tangentialvektoren an Kurven durch p. Insbesondere sind die partiellen Ableitungen
∂m die Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien eines Koordinatensystems φα und
|x
bilden eine Basis des Tangentialraumes am Punkt p mit Koordinaten x, in der jeder
Tangentialvektor entwickelt werden kann, u = um∂m. In dieser Basis hat der Tangentialvektor
an die Kurve mit Koordinatendarstellung Γα : s ↦→ x(s) die Komponenten
u m = dxm (s)
. (A.14)
ds
In einem anderen Koordinatensystem x ′ (x) hat nach Kettenregel
derselbe Vektor die Komponenten
d
ds x′ m (x(s)) =
u ′m (x ′ (x)) =
m ∂x′
∂xn dxn ds
(A.15)
∂x′ m
∂x n un (x) . (A.16)
Insbesondere besagt die Kettenregel für die Basis in x ′ -Koordinaten
∂ ∂xm ∂
= , (A.17)
∂x ′ k ∂x ′ k ∂xm und der Tangentialvektor u hängt nicht von der Basis ab
u ′ m ∂ ′ m x ′ (x)
= u m ∂m . (A.18)
x
Man kann den Tangentialvektor u am Punkt p auch als Äquivalenzklasse von Kurven
durch p auffassen, die bei p dieselbe lineare Abbildung von Funktionen f ∈ Fp bewirken.
Gibt man an jedem Punkt einen Vektor an, so heißt diese Zuordnung p ↦→ u|p das
Vektorfeld u. Im Koordinatensystem x ist es durch Komponentenfunktionen x ↦→ u m (x)
gegeben. Bei gegebenen Komponentenfunktionen ist (A.14) ein Differentialgleichungssystem
für eine Schar von Kurven x(s), die Integralkurven des Vektorfeldes u.
1 Wir verwenden die Einsteinsche Summationskonvention und verabreden, um Summenzeichen nicht
schreiben zu müssen, daß jeder in einem Term doppelt auftretende Index die Anweisung enthält, über
seinen Laufbereich, hier von 1 bis d, zu summieren. Der Name des Summationsindexpaares kann frei
gewählt werden, er muß nur von allen anderen im Term auftretenden Indizes verschieden sein.