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24 2 Zeit und Länge
Geschwindigkeiten addieren sich bis auf das Vorzeichen im Nenner wie Steigungen:
Ist die Ladefläche eines Lastwagens um einen Winkel α gekippt, so hat sie die Steigung
m1 = tan α. Befährt dieser Lastwagen eine Straße mit Neigungswinkel β und Steigung
m2 = tanβ, so ist die Ladefläche gegenüber der Horizontalen um α + β gekippt und hat
die Gesamtsteigung
m3 =
sin(α + β) cosαsin β + sin α cosβ tan α + tanβ
= =
cos(α + β) cosαcosβ − sin α sin β 1 − tan α tan β = m1 + m2
. (2.17)
1 − m1m2
Definieren wir die Schnelligkeit σ als Logarithmus des Dopplerfaktors κ,
σ = ln κ = 1 1 + v
ln
2
1 − v , v = eσ − e−σ eσ + e
−σ = tanhσ , (2.18)
so entspricht der Multiplikation der Dopplerfaktoren κ = e σ die Addition der zugehörigen
Schnelligkeiten. Es sind die Schnelligkeiten σ , nicht die Geschwindigkeiten tanh σ , die
sich bei Bewegung in einer Richtung von Beobachter zu Beobachter addieren.
2.3 Zeitdehnung
Vergeht auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen die Zeit t, so vergeht auf einer zweiten,
gleichen Uhr, die sich mit Geschwindigkeit v relativ zur ersten bewegt, zwischen den
entsprechenden, gleichzeitigen Ereignissen weniger Zeit, nämlich (2.11)
τ = √ 1 − v 2 t . (2.19)
Zeitdehnung ist wechselseitig. Dies zeigt das Diagramm 2.8, in dem wir die Lichtstrahlen
des Diagramms 2.3 bis zu beiden Beobachtern B und U verlängert haben. Bei den
Ereignissen auf ihren Weltlinien geben wir die Zeiten an, die ihre mitgeführten Uhren
t
E
B S U
t
τ
t t
O
t
τ E
Abbildung 2.8: Wechselseitige
Zeitdehnung
t
anzeigen.
Der Schiedsrichter S, der stets zwischen den Beobachtern
B und U ist, sieht beide Uhren gleich gehen. Daher
stimmen die Zeiten t− und t ′ −, sowie τ und τ ′ ebenso
wie t+ und t ′ + überein, denn Licht von den Ereignissen,
in denen die Uhren diese Zeiten anzeigen, erreicht den
Schiedsrichter jeweils im gleichen Augenblick.
Für den Beobachter B findet das Ereignis E ′ , in dem
die bewegte Uhr die Zeit τ ′ anzeigt, gleichzeitig mit dem
Ereignis statt, in dem seine Uhr das arithmetische Mittel
t = (t+ + t−)/2 der Zeit t− anzeigt, zu dem Licht zu E ′
startet, und der Zeit t+, zu der er das reflektierte Licht
sieht. Dabei zeigt die bewegte Uhr weniger an, nämlich
nach dem Satz des Minkowski (2.7) das geometrische
Mittel τ = √ t+t− = √ 1 − v2 t (2.11).
Für den Beobachter U ist das Ereignis, in dem seine
Uhr die Zeit t ′ = (t ′ + + t ′ −)/2 = t anzeigt, gleichzeitig zu
2.3 Zeitdehnung 25
dem Ereignis E, in dem die ihm gegenüber bewegte Uhr von B die Zeit τ =t ′ +t ′ − =
√ 1 − v 2 t anzeigt. Für U geht die Uhr von B ebenso langsamer wie umgekehrt.
Daß die Uhren wechselseitig langsamer gehen, rührt daher, daß sich die Beobachter
darin unterscheiden, welche Ereignisse gleichzeitig sind. In Euklidischer Geometrie ist der
entsprechende Sachverhalt wohlbekannt: Peilt man waagerecht von einem Leuchtturm
auf Meereshöhe zu einem zweiten, baugleichen Turm, der ebenfalls auf Meereshöhe steht,
dann erscheint wechselseitig wegen der Erdkrümmung jeweils der andere Turm weniger
hoch. Denn Höhe hängt davon ab, welche Richtung waagerecht ist, und bei den beiden
Türmen sind diese Richtungen nicht gleich.
Zwillingsparadoxon
Wechselseitige Zeitdehnung scheint widersprüchlich, wenn wir beispielsweise Zwillinge
bedenken. Der eine Zwilling, der Reisende, starte zu Anfang im Ereignis A zum Mars,
kehre bei Marsankunft im Ereignis M wieder um und reise zurück. Der andere Zwilling,
der Stubenhocker S, warte ruhig die Zeit t + t ′ bis zur Rückkehr ab. Welcher Zwilling,
wenn überhaupt einer, ist am Ende im Ereignis E jünger? Für jeden der Zwillinge ist
der andere bewegt. Altert nicht widersprüchlicherweise jeder weniger als der andere?
Anders als oft stillschweigend unterstellt, sind die Wahrnehmungen der Zwillinge nicht
bis auf die kurze Beschleunigungsphase beim Mars gleich. Beide sehen 2 übereinstimmend,
t t
t
S
t
t
0 A
τ
E
R
τ
H
M
Abbildung 2.9:
Zwillinge
daß der Stubenhocker zwischen dem Anfang und Ende der Reise mehr
altert als der Reisende.
Bei Marsankunft M trifft ein Lichtstrahl vom Stubenhocker S ein.
Mit diesem Licht sieht der Hinreisende H, daß auf der rotverschobenen
Uhr von S, die sich von ihm entfernt, zwischen dem Start A bis zum
Aussenden des Lichtpulses eine Zeit t− vergangen ist.
Die Hinreisedauer τ, die dem Hinreisenden die eigene Uhr bei M
anzeigt, ist um einen Faktor κ größer als t− (2.1).
Um denselben Faktor κ ist die Zeit t+ größer, die ab Beginn A auf
der Uhr des Stubenhockers vergeht, bis er mit dem Lichtstrahl von der
Marsankunft M die Uhr des Hinreisenden die Zeit τ anzeigen sieht,
τ = κ t− , t+ = κ τ . (2.20)
Denn bei gleichförmiger Bewegung in Sichtlinie ist der Dopplerfaktor,
anders als bei Schall, wechselseitig (2.8), und die Uhr des Hinreisenden
erscheint dem Stubenhocker, von dem sie sich entfernt, genauso
rotverschoben wie umgekehrt die Uhr des Stubenhockers dem Hinreisenden.
2 Beide Zwillinge sehen, wer von ihnen beschleunigt, wenn die Rotverschiebung, mit der sie den anderen
wahrnehmen, in Blauverschiebung übergeht. Für den Reisenden ändert sich mit seiner Geschwindigkeit
durch Aberration (3.21) auch die Einfallsrichtung der Lichtstrahlen, die er sieht. Dadurch
verkleinert sich die Größe, mit der ihm der Stubenhocker erscheint. Hingegen ändert sich für den
Stubenhocker nicht die sichtbare Größe des Reisenden, wenn sich seine Farbe ändert.