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170 8 Dynamik der Gravitation
rr1
M2
Schwarzes Loch
r0
r0
Weißes Loch
M4
t∞
M3 rkonst M1
t ∞
rr1
Abbildung 8.1: Schwarzes Loch in Kruskal-Koordinaten (u, v)
Damit die Metrik bei v = ±u stetig ist, muß der Parameter r1 = r(u, ±u), die Nullstelle
von gtt, in allen vier Bereichen Mj übereinstimmen. Dann sind bei u = ±v die
Komponenten gθθ und gϕϕ stetig und die Kugelschalen, die durch θ und ϕ parametrisiert
werden, passen aneinander.
Sind darüber hinaus die erste und die zweite Ableitung der zweimal stetig differenzierbaren
Funktionen fj(r)/fj(r1), die in den vier Bereichen Mj die Metrik bestimmen,
bei r = r1 gleich, so ist die Metrik in einer Umgebung der Winkelhalbierenden u = ±v
zweimal stetig differenzierbar und der Riemanntensor ist stetig. Dies gilt insbesondere,
falls in allen Bereichen Mj eine Metrik mit derselben Funktion fj = f vorliegt.
Daher ist die Metrik (8.46) auch in einer Umgebung der Winkelhalbierenden u = ±v,
also in einer Umgebung von r = r1 eine Lösung der Einsteingleichungen, soweit die
Funktion f = 0 in den Bereichen Mj zu einer Lösung der Einsteingleichung gehört.
Die Funktion r(u, v) ist spezieller eine Funktion von u2 −v2 . Ihr Wert stimmt also mit
r(u ′ , v ′ ) an lorentztransformierten Argumenten überein
u ′
v ′=cosh σ sinh σ
(8.48)
sinh σ cosh σu v.
Diese Lorentztransformation läßt also r invariant. Sie verschiebt t (8.40)
r ′ = r , t ′ = t + 2
σ . (8.49)
c f(r1)
Die Zeittranslation ist also eine Lorentztransformation der Kruskalkoordinaten (u, v).
Sie hat bei (u, v) = (0, 0) einen Fixpunkt und die Zeit kann dort, wie ein Drehwinkel bei
einem Fixpunkt, keine brauchbare Koordinate sein. Zudem hat dort die Funktion r(u, v)
einen Sattelpunkt und ist dort als Koordinate ungeeignet.
8.5 Kruskalkoordinaten 171
Die Fläche r = r1 ist lichtartig, das heißt, es gibt einen lichtartigen Tangentialvektor
∂t, (∂t, ∂t) = gtt = 0, der senkrecht auf allen anderen Tangentialvektoren der Fläche,
∂θ und ∂ϕ, steht. Daher ist jeder weitere Vektor w, der senkrecht auf den Tangentialvektoren
der Fläche steht, ein Vielfaches von ∂t und kann nicht ein linear unabhängiger
Tangentialvektor ∂r eines orthogonalen Koordinatensystems (t, r, θ, ϕ) sein. Es können
nicht die Koordinaten (t, θ, ϕ) der lichtartigen Fläche r = r1, die den Rand von M1
bildet, zu orthogonalen Koordinaten ergänzt werden.
Die Ereignisse r = 0 bestehen in Kruskalkoordinaten aus einem weißen Loch, den
Punkten r = 0 mit v = −4r2 0/e + u2 (für Λ = 0), von dem nach M1 Lichtstrahlen nur
ausgesendet werden können, und einem schwarzen Loch mit r = 0 und v =4r 2 0/e + u2 ,
das aus M1 nur Lichtstrahlen empfangen, aber keine Lichtstrahlen aussenden kann.
Denn Licht läuft in der (u, v)-Ebene auf Geraden mit Winkel ±45zu den Achsen nach
oben. Auch von keinem anderen Ereignis in M2 kann Licht zu M1 gesendet werden.
Jeder Lichtstrahl, der in M2 ausgesendet wird, endet im schwarzen Loch bei r = 0.
Der Schwarzschildradius ist also ein Horizont für Beobachter, deren Weltlinien in M1
verlaufen: Lichtstrahlen von Ereignissen in M2 können von keinem Beobachter in M1
oder M3 außerhalb des Schwarzschildhorizonts gesehen werden.
In den Bereichen M1 und M3 sind die t-Koordinatenlinien u2 − v2 = konst zeitartig,
in M2 und M4 sind sie raumartig. Die Singularität der Schwarzschildlösung liegt auf
der Weltlinie r = 0, die Grenzfall raumartiger Weltlinien r = ε > 0 ist.
Ist die Materie eines Stern zunächst bis zu rStern > r1 ausgedehnt und zieht sich die
Materie des Sterns später unter dem eigenen Gewicht zusammen, so weicht die Weltlinie
der Sternoberfläche, wie in Abbildung 8.1 angedeutet, von der Hyperbel r = konst zu
kleineren Werten von r ab. Die Kruskalmetrik (8.46) ist die Lösung der Einsteingleichungen
im Vakuum, sie gilt also für r > rStern rechts von dieser Weltlinie.
Ihr Tangentialvektor ist überall innerhalb des Vorwärtslichtkegels: Materie ist langsamer
als Licht. Wenn der Stern auf weniger als den Schwarzschildradius schrumpft,
ist daher das vollständige Zusammenstürzen auf die Linie r = 0 in M1 unvermeidlich,
Insbesondere bildet sich die Singularität des Schwarzen Lochs bei r = 0.
Ein Weißes Loch kann nicht entstehen, denn es liegt nicht im Vorwärtslichtkegel irgendeiner
vorherigen Ursache.
Auch wenn das Überschreiten des Horizonts unumkehrbar zum Zusammensturz nach
r = 0 führt, so ist dieses Überschreiten dennoch für frei fallende Beobachter ohne
spektakuläre Begleiterscheinungen. Es wirken sich bei ihm nur die Gezeitenkräfte der
Gravitation aus, die daher rühren, daß bei freiem Fall benachbarte Punkte durch die
unterschiedliche Gravitation unterschiedlich fallen und ihren Abstand verändern. Diese
Gezeitenkräfte auf eine Masse m im Abstand δr sind von der Größenordnung mc2δr r1/r3 (C.120) und sind am Horizont r = r1 klein, wenn der Schwarzschildradius groß ist.
Für r0 > 0 und 0 < Λ < 4/(9r0 2 ) hat gtt (8.37) eine zweite positive Nullstelle bei r2
und die Metrik ist dort von der Form (8.39) mit f = − Λ
3 r (r−r1)(r+r1+r2), allerdings ist
f(r2) < 0. Die geometrischen Verhältnisse sind wie in Abbildung 8.1 mit einem Horizont
bei r2. Nur enthalten die Bereiche M1 und M3 jeweils das Gravitationszentrum und r
ist dort kleiner als r2. In M2 und M4 ist r größer als r2. Überschreitet ein Beobachter,