Jahresbericht der Universit

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III Forschung
v.l.n.r.: Prof. Dr. Alexander Schmidt, Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter, Prof. Dr. Uwe Jannsen,
Prof. Dr. Klaus Künnemann, Prof. Dr. Guido Kings
Hierzu wurde in den letzten Jahren eine ganze Reihe von Invarianten entwickelt, die
Aufschluss über die Lösungsmenge geben. Andererseits ist es ein mit Computern angreifbares
Problem Lösungen in endlichen Körpern zu finden. L-Funktionen kodieren
diese Lösungen in analytische Funktionen. Ein sehr tiefer Zusammenhang zwischen
den L-Funktionen und den Invarianten wird durch die Tamagawazahl-Vermutung ausgesprochen,
die jedoch bisher nur in Spezialfällen bekannt ist. Entscheidendes Hilfsmittel
ist hierbei die Beschreibung globaler Invarianten durch algebraische Zykel.
Die von Suslin und Voevodsky entwickelte A 1 -Homotopietheorie und die darauf aufbauende
motivische Kohomologie haben sich in den letzten Jahren als der richtige technische
Rahmen zur Behandlung von Fragen über algebraische Zykel herausgestellt. Durch
die Bloch-Kato-Milnor-Vermutung (anscheinend nun fast vollständig bewiesen) besteht
eine enge Verbindung zwischen der motivischen Kohomologie und der étalen Kohomologie.
Die gegenseitige Befruchtung dieser Theorien ist dadurch sehr stark. Durch die Einführung
der A 1 -Homotopietheorie haben Methoden der klassischen Homotopietheorie
Einzug in die arithmetische Geometrie gehalten und viele neue Fragestellungen motiviert.
Teilprojekte reflektieren diese Entwicklung und stellen die Untersuchung von Eigenschaften
der motivischen Homotopie und Kohomologie in den Vordergrund. Wird in diesen
Projekten das enorme technische Potential, das die A 1 -Homotopietheorie zum Studium
der motivischen Kohomologie bereitstellt, fruchtbar gemacht, so soll in der Forschergruppe
die Anwendung auf konkrete Probleme gleichberechtigt daneben stehen. Hier
ist vor allen Dingen die Frage nach der Existenz von Erweiterungen gemischter Motive zu