. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

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−k ∑ nw n ln w n = ∑ (e −E n/kTE∑nn j e−E j/kT T + k ln ∑ j∑j E je −E j/kT= 1 T∑j e−E j/kT+ k ln ∑ ne −E j/kT)e −E n/kT∑j e−E j/kT∑j e−E j/kT= E T + k ln ∑ ne −E n/kT= S (544)Hierbei E = 〈E〉 benutztAlso wie bekannt S = −k ∑ n w n ln w nIm klassichen Kontinuumslimes: definiere∫dΓ ≡ Ω(E) (545)Dannmit∫S = −kE=constdE Ω(E)w(E) ln w(E) (546)w(E) =e −E/kT∫dE Ω(E)e−E/kT(547)Kanon Ensemble: Die Boltzmann-Planck MethodeNach KuboIst auch die SchrödingermethodeBetrachte wieder Ensemble mit N → ∞ MitgliedernNeuer Gedanke:Jedes System eingebettet in Wärmebad der N − 1 anderen SystemeGrundfrage: Wie kann man N Systeme auf Energiezustände E jverteilen?150
N 1 + N 2 + . . . = NN 1 E 1 + N 2 E 2 + . . . = E (548)Zahl der Möglichkeiten, für die die letzte Zeile giltN!W (N 1 , N 2 , . . .) =(549)N 1 !N 2 ! . . .Gesamtzahl aller Möglichkeiten, für die beide Zeilen geltenW (E) =∑W (N 1 , N 2 , . . .) (550)BoltzmannN 1 ,N 2 ,...Wie obenS = k ln W (E) (551)W (E) ≈ max W (N 1 , N 2 , . . .) (552)Annahme: alle N j sehr groß. Dann mit StirlingDamitln N! ≈ N(ln N − 1) (553)ln W = −N ∑ nw n ln w n (554)mitw n = N nNDas Maximum muss unter den Nebenbedingungen(555)∑w n = 1n∑w n E n = E/N (556)n151
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.S T A T I S T I S C H EM E C H A N
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Entwicklung der Thermodynamik1. Gru
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Man nimmt an, die Sache ist station
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Magnetisierung M, mag Induktion B.E
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DefC V = δQδTC p = δQδTFür jed
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KAPITEL 2: ZWEITER HAUPTSATZ§2 Nac
Seite 13 und 14:
Dies ist kein Widerspruch zu Kelvin
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In beliebiger Nähe jedes GG-Zustan
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mit denselben V, B, . . . aber vers
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Satz: keine Maschine, die zwischen
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T n+1T n= n + 1 (40)Man erhöht Arb
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Q 0T 0=n∑i=1Q iT i< 0 (45)Im Kont
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∫IδQT∫R≤ δQT= S(B) − S(A)
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H__| | |=====|| | | |__| | | .. |dh
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Mischtemperatur T mit T 1 < T < T 2
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Dämon öffnet Schleuse wenn:schnel
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∆S = k ln 2 (für ein bit) (71)Di
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Es gilt (Summationskonvention!)df(h
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für Differentialform Wärme”dS =
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∮ ωT< 0 irreversibel (94)Beachte
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Integrierender Faktor und EntropieO
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Bardeen, Carter & Hawking 1973:Hori
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Legendretrafo hier alsoZur Kontroll
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Das bisherige zusammengestelltG = U
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T (U, V, N 1 , N 2 ) = T 1 (U 1 , V
Seite 51 und 52:
Achtung: G hängt ggf von Teilchenz
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Schmelzen, Sieden und Sublimation a
Seite 55 und 56:
Osmotischer Druck kommt allein von
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π = n 1RTVHeißt Gesetz von van’
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Damit erster HauptsatzKapillarität
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Verteilungsfkt heißt ρ im Γ-Phas
Seite 63 und 64:
∂f∂t d3 q d 3 p =[− 1 (f q 1
Seite 65 und 66:
Es gilt aber auch entlang der Traje
Seite 67 und 68:
∫ddx 1 . . . dx 2ndt V t∫∂= d
Seite 69 und 70:
dn 1dS 1dE = dS dn 22dEAlso nach De
Seite 71 und 72:
Wenn beide Atome vor Stoß in δ 3
Seite 73 und 74:
Zahl der Atome dN die in dt von ein
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Ist Zahl der Stöße raus aus d 3 q
Seite 77 und 78:
Man kann dies weiter auswerten:Sto
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∫∫dΓρ(p, q, t) =dz 1 . . . dz
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∫∂f n∂t = N!(N − n)!N!= −
Seite 83 und 84:
∫dz n+1 Z i,n+1 f n+1 (z 1 , . .
Seite 85 und 86:
Also sind auch rechte Seiten gleich
Seite 87 und 88:
Dabei benutzt, dass Ξ symmetrisch
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Temperatur T aus〈p 2 /2m〉 = 3 k
Seite 91 und 92:
Betrachte einen PhasenraumpunktTraj
Seite 93 und 94:
wenn am Anfang viel mehr Kugeln in
Seite 95 und 96:
Rutgersartikel über H-Theoren§33
Seite 97 und 98:
Durchlaufener Weg ist freie Weglän
Seite 99 und 100: Benutze1. Produktregel2. E hängt n
Seite 101 und 102: Einsetzen, mit Beschleunigung g i =
Seite 103 und 104: Macht keinen Sinn!Nächste Möglich
Seite 105 und 106: √kTF x ≈ λmnm∂u x∂y(363)Fr
Seite 107 und 108: Sei P = (P ij ). Dann Erhaltungssat
Seite 109 und 110: Heißt Fokker (1914) - Planck (1917
Seite 111 und 112: Random walk: so oft rechts/links, d
Seite 113 und 114: Galaxienhaufen: N = 10 3 Galaxien:
Seite 115 und 116: f(⃗p 1 )f(⃗p 2 ) − f(⃗p 1 +
Seite 117 und 118: dσ =Cm2 dθ(415)(⃗v 1 − ⃗v 2
Seite 119 und 120: Probleme:1. was wenn N ≈ 1?2. was
Seite 121 und 122: System soll n Quantenzustände glei
Seite 123 und 124: und A ′′1, . . . , A ′′ n..
Seite 125 und 126: g =n∑g k (441)k=1(Dies ist für h
Seite 127 und 128: Zwei Wege:klassische Mechanik → E
Seite 129 und 130: Vor allem gleiche Teilchenzahl N un
Seite 131 und 132: ∫Γ(E) = dEΓ 1 (E 1 )Γ 2 (E −
Seite 133 und 134: Also∂ 2 ln Γ 1 (E 1 )∂E12 +
Seite 135 und 136: Übung: Zeige:Γ = dM = ωdE (481)S
Seite 137 und 138: [S = kN ln VFür große N gilt( ) ]
Seite 139 und 140: S(E) = S(−E) (501)Also Extremum v
Seite 141 und 142: Also∂ ln Γ 1∂h= 0 (506)−mg
Seite 143 und 144: H =fN∑i=1(ai p 2 i + b i q 2 i)(5
Seite 145 und 146: ∫Γ(E) ∼d 3N 1p 1 d 3N 1q 1 e
Seite 147 und 148: Dasselbe nochmal nach Feynman: Ther
Seite 149: k ln Γ 2 (E − E 1 ) = S 2 (E −
Seite 153 und 154: E = kT 2 ∂ ln Q(T, V, N)∂T(563)
Seite 155 und 156: Deren Besetzungszahlenliste n l lie
Seite 157 und 158: D.h. man leistet mechanische Arbeit
Seite 159 und 160: n 2 i − ¯n2 i = x i∂¯n i∂x
Seite 161 und 162: Rechts Summe über Residuen innerha
Seite 163 und 164: Taylorreihenentwicklung des Integra
Seite 165 und 166: Gebraucht wird nurf(z) = x 1 z ɛ 1
Seite 167 und 168: KAPITEL 7A: QUANTENSTATISTIK§52 Bo
Seite 169 und 170: U = T 2∂Ψ∂T= − kT 2 e x/2 +
Seite 171 und 172: ∑〈n|P |n〉 = ∑ nn= ∑ n=
Seite 173 und 174: Tr ρ = ∑ n= ∑ n〈n|Ψ〉〈Ψ
Seite 175 und 176: Quantenmechanischer Erwartungswert
Seite 177 und 178: (−1) π soll bedeuten: −1 für
Seite 179 und 180: ρ = ∑ n= ∑ ne −E n/kT |n〉
Seite 181 und 182: Dabei p Betrag des Impulseigenwerts
Seite 183 und 184: Kombinatorik: Anzahlbestimmung.Wovo
Seite 185 und 186: Also( )giw i = =n ig i !n i !(g i
Seite 187 und 188: die sind bei Boltzmann alle verschi
Seite 189 und 190: Ist grob de Broglie-Wellenlänge f
Seite 191 und 192: (0) f(0, 0, 0)(1) +f(1, 0, 0) + f(0
Seite 193 und 194: Mittlere Teilchenzahl im Zustand kB
Seite 195 und 196: hier ⃗pStatt Schwabls Vielfachsum
Seite 197 und 198: die einzelnen Summanden dort sind d
Seite 199 und 200: U = 3 pV (756)2199
Seite 201 und 202:
UmstellenNV( 2π2mkT) 3/2≈ 43 √
Seite 203 und 204:
Also hat Fermigas auch bei T = 0 en
Seite 205 und 206:
Zugehörige Energie istE = ∑ ⃗
Seite 207 und 208:
U = ∑ ⃗ kω〈n ⃗k 〉= ∑ c
Seite 209 und 210:
Einsetzen pV = U/3Nun∂U∂V∂U
Seite 211 und 212:
Das folgende nach Pauli: Statistisc
Seite 213 und 214:
f(ω)dω =3V(2π) 34πk2 dk =Maxima
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Fkt g wie zuvor definiert, m Teilch
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κ ist Grav.beschleunigung am Horiz
Seite 219 und 220:
1. Geschlossene Kiste, Masse m, mit
Seite 221 und 222:
Nur durch hinabdrücken wird sie we
Seite 223 und 224:
Nψ(⃗r)|En〉 = (n − 1)ψ(⃗r)
Seite 225 und 226:
nämlich∫Q =dxρ(x, x) = Tr ρ (8
Seite 227 und 228:
∫ρ(x 2 , x 1 ) =(× exp[dx(u)]×
Seite 229 und 230:
I = iπM κ(883)mit Grav.beschleuni
Seite 231 und 232:
Problem bei Gibbons & Hawking:Entro
Seite 233 und 234:
Ist auch hier schon das Kernproblem
Seite 235 und 236:
R = {(x, t)| x > 0, |t| < x} (906)D
Seite 237 und 238:
∫ ∞−∞Entsprechend für ˜φ
Seite 239 und 240:
Entwicklungskoeffizienten α, β h
Seite 241 und 242:
Rindlerbeobachter sieht im Minkowsk
Seite 243 und 244:
ds 2 = dr 2 − dT 2= −dµ dν (9
Seite 245 und 246:
mit∫ ∞ψω in = dλ ( α λω
Seite 247 und 248:
KAPITEL 9: PHASENÜBERGÄNGE§78 Ya
Seite 249 und 250:
Kann die reelle z-Achse erreichen:
Seite 251 und 252:
∑s i = −1 + 1 = 0 (971)s i =±1
Seite 253 und 254:
mitc 0 = cosh Lc 1 = sinh L (976)Wi
Seite 255 und 256:
Betrachte Punkt i auf originalem Gi
Seite 257 und 258:
7. Drücke zuletzt c k durch σ aus
Seite 259 und 260:
Je nachdem ist γ > 0 oder γ < 0 (
Seite 261 und 262:
KAPITEL 10: ERGODENTHEORIE§84 Birk
Seite 263 und 264:
Seien U und V beliebige Mengen in
Seite 265 und 266:
2. Keplerproblem für mehr als zwei
Seite 267 und 268:
H 0 = H 0 (J)˙ J = − ∂H 0∂φ
Seite 269 und 270:
J = ∂W∂φφ ′ = ∂W∂J ′
Seite 271 und 272:
Kan Trafo wurde gemacht auf J ′ ,
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