. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

Betrachte Seite δq i δp i des QuadersBewegt sich im µ-Raum nach (q i + m −1 p i δt, p i + F i δt)Wird in δt aber auch zu Parallelogramm deformiert:in q i Richtung um Strecke m −1∂p i∂q iδq i δtin p i Richtung um Strecke ∂F i∂q iδq i δtZeige (Übung), dass Parallelogrammfläche = QuadratflächeVolumen Parallelepiped = Produkt Parallelogrammflächenweil kartesische OrthogonalkoordinatenAlso Liouville bewiesenAlternativer Beweis: Huang 2 S. 64Liouville: Eulerscher BeweisIm µ-PhasenraumEulersche Methode aus Schäfer 1 und Greiner I.1Anzahl der Phasenraumpunktef(q, p)d 3 q d 3 p (184)Festes Volumen mit Ein- und AusflussKartesisches Volumen. Mitte bei q i , p i , Kantenlänge dq i , dp iÄnderung ∂f∂t d3 q d 3 pZahl der einströmenden Punkte:Durch Seitenfläche dA 1 mit Normale in q 1 -Richtung+f(q 1 − dq 1 /2, q 2 , . . .) ˙q 1 (q 1 − dq 1 /2, q 2 , . . .)dA 1 (185)Dabei dA 1 = dq 2 . . . dq 3N dp 1 . . . dp 3NZahl der ausströmenden Punkte−f(q 1 + dq 1 /2, q 2 , . . .) ˙q 1 (q 1 + dq 1 /2, q 2 , . . .)dA 1 (186)Also Rein-Raus-Bilanz nur aufgrund Strömung in q 1 -Richtung62