. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

Kan Trafo wurde gemacht auf J ′ , φ ′In diesen soll nach (1023) kein ɛ-Term stehen, nur ɛ 2Vorsicht: setze H ′ 0(J ′ ) = H 0 (J ′ ) + ɛh 0 (J ′ ) (wie gefordert)Dieser Term in ɛ muss also nicht verschwindenAber jetzt:0 = ∂H 0∂J ⃗ · ∂S(J ′ , φ)′ ∂φ⃗ + ∑ h ⃗k (J ′ )e 2πi⃗ k·⃗φ⃗ k(1033)= ∑ ⃗ k( ∂H0∂ ⃗ J ′ · 2πi ⃗ kS ⃗k (J ′ ) + h ⃗k (J ′ ))e 2πi⃗ k·⃗φ(1037)Nach Fouriertheorem sind e 2πi⃗ k·⃗φ orthonormalAlso müssen Koeffizienten jeder für sich verschwindenFühre Abkürzung einDannAlsoω i (J ′ ) ≡ 2π ∂H 0∂J i(1038)i(⃗ω · ⃗k)S ⃗k (J ′ ) + h ⃗k (J ′ ) = 0 (1039)S ⃗k (J ′ ) = ih ⃗ k(J ′ )⃗ω · ⃗k(1040)Gut: es gibt die geforderte kan. Trafo (ɛ → ɛ 2 → ɛ 3 . . .)Schlecht: wegen Resonanznenner konvergiert sie evt nichtGenerell in nichtlinearen Ham.systemen: Problem der kleinen Nenner!Gemeint ist:ɛ ∞⃗ω · ⃗k ≡ 0 ≠ 0? (1041)0Gut: KAM-Theorem: trotz Resonanznenner steht hier 0Nach ∞ vielen kan. Trafo hat man wieder Bewegung auf Torus271