. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

Sinai 1967:Bei Stößen zwischen ausgedehnten Kugeln... entfernen sich Trajektorien exponentiell schnellAnfang der Chaostheorie:Aus infinitesimalen Änderungen in Anfangsdaten... werden nach endlicher Zeit endliche AbweichungenKhinchin, Mathematical Foundations of Statistical Mechanicssieht zwei Meilensteine in der statistischen Theorie:Darwin & Fowler bis 1929Birkhoff 1931Ziel von Khinchins Buch:Aus central limit theorem folgt Darwin & Fowler-Methode§85 Invariante Tori und KAM-TheoremSatz von PoincareElementar aus Mechanik:jede Erhaltungsgröße reduziert Dim des erlaubten Phasenraums um 1Notwendige Bedingung an Ergodizität ist also:es darf nicht zu viele Erhaltungsgrößen gebenPoincare (≈ 1900) zeigt schon für 3-Körperproblem:für 18 (= 3 × 2 × 3) Freiheitsgrade nur 10 ErhaltungsgrößenTrajektorie also nicht stark eingegrenztBeachte: dies ist nur notwendig für ErgodizitätTrajektorie kann niedrigdim auf hochdim erlaubten Phasenraum seinDann nicht ergodischResonanzenBetrachte periodische, nichtlineare Probleme: z.B.1. gekoppelte harmonische Oszillatoren mit Abweichung vom Hook-Gesetz:V = k 2 (q k+1 − q k ) 2 + λ 3 (q k+1 − q k ) 3 (1016)264