. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

φ t V = V (1011)Die nächsten Zeilen aus Khinchin:Sei M ein endliches, nicht unbedingt invariantes PhasenraumvolumenSei V ein endliches, invariantes PhasenraumvolumenSei f eine integrable, auf ganz M oder V definierte PhasenraumfktBedeutung von f(P t ) ist dann klar definiertEs gilt∫∫∫f(P )dV = f(P )dV t = f(P t )dV (1012)M t M t Merstes -”: Umbenennung der Integrationsvariablenzweites -”: Satz von LiouvilleFür invariante Phasenraumvolumen (V t = V ) also∫∫f(P )dV = f(P t )dV (1013)VSatz von Birkhoff:für invariantes, endliches V existiert der GrenzwertlimT →∞1T∫ T0Vdt f(P t ) (1014)bis auf eine Menge von V -Punkten P vom Maß NullSatz von B sagt also: zeitliches Mittel existiertfür fast alle Punkte PBeweis von Kolmogoroff: acht Seiten in Khinchin mit lim supMetrisch transitivΓ heißt metrisch transitiv ↔Γ kann nicht in zwei invariante Räume von Maß > 0 zerlegt werdenEs gilt:Metrisch transitiv ↔ ergodischBeweis: Satz von Birkhoff + elementare ArgumenteMixing262