. STATISTISCHE MECHANIK & THERMODYNAMIK Vorlesung ...

Seien U und V beliebige Mengen in Γ mit Maß > 0Sei µ die Funktion, die das Maß (Volumen) einer Menge angibtDef: ein dynamisches Systems (einfacher: φ t ) ist mischendlim µ[(φ tA) ∩ B] = µ(B) (1015)t→∞D.h. nach hinreichend langer Zeit überdeckt φ t A ganz BSatz: ergodisch ↔ metrisch transitiv ↔ mischendBeweis: elementarMixing wird heute umfassend untersucht: weil elementar-kinematischMan betrachtet abstrakte, mischende Modellentwicklungen φ tz.B. Arnolds Katzentransformation oder die BäckertransformationSie haben alle ein Element der Diskontinuität:ist in Hamiltonscher Mechanik so nicht vorhandenErgodizität auf dem TorusTorus = C × C mit C = Kreis und × = topologisches ProduktHier Kreis = Einheitskreissei ˆx Tangente an den einen Kreis, ŷ an den anderenTrajektorie soll sein: Geodäte = geradeste Linie... die unter Winkel α = atan (∆y/∆x) startetSei α irrationale Zahl:dann überdeckt Trajektorie den Torus gleichmäßigBeweis: elementarAlso quasi-ergodisches System!Beachte: Geodäte ist genauso zeitumkehrinvariant wie HamiltondynamikErgodizität (entgegen mancher Behauptung) nicht in Konflikt mit t-InvarianzSatz von SinaiSinai:Wenn Trajektorie auf Oberfläche mit negativer Krümmung verläuftdann ergodisch!Beweis: sehr schwer263