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.S T A T I S T I S C H EM E C H A N
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Entwicklung der Thermodynamik1. Gru
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Man nimmt an, die Sache ist station
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Magnetisierung M, mag Induktion B.E
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DefC V = δQδTC p = δQδTFür jed
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KAPITEL 2: ZWEITER HAUPTSATZ§2 Nac
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Dies ist kein Widerspruch zu Kelvin
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In beliebiger Nähe jedes GG-Zustan
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mit denselben V, B, . . . aber vers
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Satz: keine Maschine, die zwischen
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T n+1T n= n + 1 (40)Man erhöht Arb
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Q 0T 0=n∑i=1Q iT i< 0 (45)Im Kont
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∫IδQT∫R≤ δQT= S(B) − S(A)
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H__| | |=====|| | | |__| | | .. |dh
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Mischtemperatur T mit T 1 < T < T 2
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Dämon öffnet Schleuse wenn:schnel
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∆S = k ln 2 (für ein bit) (71)Di
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Es gilt (Summationskonvention!)df(h
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für Differentialform Wärme”dS =
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∮ ωT< 0 irreversibel (94)Beachte
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Integrierender Faktor und EntropieO
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Bardeen, Carter & Hawking 1973:Hori
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Legendretrafo hier alsoZur Kontroll
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Das bisherige zusammengestelltG = U
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T (U, V, N 1 , N 2 ) = T 1 (U 1 , V
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Achtung: G hängt ggf von Teilchenz
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Schmelzen, Sieden und Sublimation a
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Osmotischer Druck kommt allein von
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π = n 1RTVHeißt Gesetz von van’
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Damit erster HauptsatzKapillarität
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Verteilungsfkt heißt ρ im Γ-Phas
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∂f∂t d3 q d 3 p =[− 1 (f q 1
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Es gilt aber auch entlang der Traje
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∫ddx 1 . . . dx 2ndt V t∫∂= d
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dn 1dS 1dE = dS dn 22dEAlso nach De
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Wenn beide Atome vor Stoß in δ 3
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Zahl der Atome dN die in dt von ein
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Ist Zahl der Stöße raus aus d 3 q
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Man kann dies weiter auswerten:Sto
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∫∫dΓρ(p, q, t) =dz 1 . . . dz
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∫∂f n∂t = N!(N − n)!N!= −
- Seite 83 und 84:
∫dz n+1 Z i,n+1 f n+1 (z 1 , . .
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Also sind auch rechte Seiten gleich
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Dabei benutzt, dass Ξ symmetrisch
- Seite 89 und 90:
Temperatur T aus〈p 2 /2m〉 = 3 k
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Betrachte einen PhasenraumpunktTraj
- Seite 93 und 94:
wenn am Anfang viel mehr Kugeln in
- Seite 95 und 96:
Rutgersartikel über H-Theoren§33
- Seite 97 und 98:
Durchlaufener Weg ist freie Weglän
- Seite 99 und 100:
Benutze1. Produktregel2. E hängt n
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Einsetzen, mit Beschleunigung g i =
- Seite 103 und 104:
Macht keinen Sinn!Nächste Möglich
- Seite 105 und 106:
√kTF x ≈ λmnm∂u x∂y(363)Fr
- Seite 107 und 108:
Sei P = (P ij ). Dann Erhaltungssat
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Heißt Fokker (1914) - Planck (1917
- Seite 111 und 112:
Random walk: so oft rechts/links, d
- Seite 113 und 114:
Galaxienhaufen: N = 10 3 Galaxien:
- Seite 115 und 116:
f(⃗p 1 )f(⃗p 2 ) − f(⃗p 1 +
- Seite 117 und 118:
dσ =Cm2 dθ(415)(⃗v 1 − ⃗v 2
- Seite 119 und 120:
Probleme:1. was wenn N ≈ 1?2. was
- Seite 121 und 122:
System soll n Quantenzustände glei
- Seite 123 und 124:
und A ′′1, . . . , A ′′ n..
- Seite 125 und 126:
g =n∑g k (441)k=1(Dies ist für h
- Seite 127 und 128:
Zwei Wege:klassische Mechanik → E
- Seite 129 und 130:
Vor allem gleiche Teilchenzahl N un
- Seite 131 und 132:
∫Γ(E) = dEΓ 1 (E 1 )Γ 2 (E −
- Seite 133 und 134:
Also∂ 2 ln Γ 1 (E 1 )∂E12 +
- Seite 135 und 136:
Übung: Zeige:Γ = dM = ωdE (481)S
- Seite 137 und 138:
[S = kN ln VFür große N gilt( ) ]
- Seite 139 und 140:
S(E) = S(−E) (501)Also Extremum v
- Seite 141 und 142:
Also∂ ln Γ 1∂h= 0 (506)−mg
- Seite 143 und 144:
H =fN∑i=1(ai p 2 i + b i q 2 i)(5
- Seite 145 und 146:
∫Γ(E) ∼d 3N 1p 1 d 3N 1q 1 e
- Seite 147 und 148:
Dasselbe nochmal nach Feynman: Ther
- Seite 149 und 150:
k ln Γ 2 (E − E 1 ) = S 2 (E −
- Seite 151 und 152:
N 1 + N 2 + . . . = NN 1 E 1 + N 2
- Seite 153 und 154:
E = kT 2 ∂ ln Q(T, V, N)∂T(563)
- Seite 155 und 156:
Deren Besetzungszahlenliste n l lie
- Seite 157 und 158:
D.h. man leistet mechanische Arbeit
- Seite 159 und 160:
n 2 i − ¯n2 i = x i∂¯n i∂x
- Seite 161 und 162:
Rechts Summe über Residuen innerha
- Seite 163 und 164:
Taylorreihenentwicklung des Integra
- Seite 165 und 166:
Gebraucht wird nurf(z) = x 1 z ɛ 1
- Seite 167 und 168:
KAPITEL 7A: QUANTENSTATISTIK§52 Bo
- Seite 169 und 170: U = T 2∂Ψ∂T= − kT 2 e x/2 +
- Seite 171 und 172: ∑〈n|P |n〉 = ∑ nn= ∑ n=
- Seite 173 und 174: Tr ρ = ∑ n= ∑ n〈n|Ψ〉〈Ψ
- Seite 175 und 176: Quantenmechanischer Erwartungswert
- Seite 177 und 178: (−1) π soll bedeuten: −1 für
- Seite 179 und 180: ρ = ∑ n= ∑ ne −E n/kT |n〉
- Seite 181 und 182: Dabei p Betrag des Impulseigenwerts
- Seite 183 und 184: Kombinatorik: Anzahlbestimmung.Wovo
- Seite 185 und 186: Also( )giw i = =n ig i !n i !(g i
- Seite 187 und 188: die sind bei Boltzmann alle verschi
- Seite 189 und 190: Ist grob de Broglie-Wellenlänge f
- Seite 191 und 192: (0) f(0, 0, 0)(1) +f(1, 0, 0) + f(0
- Seite 193 und 194: Mittlere Teilchenzahl im Zustand kB
- Seite 195 und 196: hier ⃗pStatt Schwabls Vielfachsum
- Seite 197 und 198: die einzelnen Summanden dort sind d
- Seite 199 und 200: U = 3 pV (756)2199
- Seite 201 und 202: UmstellenNV( 2π2mkT) 3/2≈ 43 √
- Seite 203 und 204: Also hat Fermigas auch bei T = 0 en
- Seite 205 und 206: Zugehörige Energie istE = ∑ ⃗
- Seite 207 und 208: U = ∑ ⃗ kω〈n ⃗k 〉= ∑ c
- Seite 209 und 210: Einsetzen pV = U/3Nun∂U∂V∂U
- Seite 211 und 212: Das folgende nach Pauli: Statistisc
- Seite 213 und 214: f(ω)dω =3V(2π) 34πk2 dk =Maxima
- Seite 215 und 216: Fkt g wie zuvor definiert, m Teilch
- Seite 217 und 218: κ ist Grav.beschleunigung am Horiz
- Seite 219: 1. Geschlossene Kiste, Masse m, mit
- Seite 223 und 224: Nψ(⃗r)|En〉 = (n − 1)ψ(⃗r)
- Seite 225 und 226: nämlich∫Q =dxρ(x, x) = Tr ρ (8
- Seite 227 und 228: ∫ρ(x 2 , x 1 ) =(× exp[dx(u)]×
- Seite 229 und 230: I = iπM κ(883)mit Grav.beschleuni
- Seite 231 und 232: Problem bei Gibbons & Hawking:Entro
- Seite 233 und 234: Ist auch hier schon das Kernproblem
- Seite 235 und 236: R = {(x, t)| x > 0, |t| < x} (906)D
- Seite 237 und 238: ∫ ∞−∞Entsprechend für ˜φ
- Seite 239 und 240: Entwicklungskoeffizienten α, β h
- Seite 241 und 242: Rindlerbeobachter sieht im Minkowsk
- Seite 243 und 244: ds 2 = dr 2 − dT 2= −dµ dν (9
- Seite 245 und 246: mit∫ ∞ψω in = dλ ( α λω
- Seite 247 und 248: KAPITEL 9: PHASENÜBERGÄNGE§78 Ya
- Seite 249 und 250: Kann die reelle z-Achse erreichen:
- Seite 251 und 252: ∑s i = −1 + 1 = 0 (971)s i =±1
- Seite 253 und 254: mitc 0 = cosh Lc 1 = sinh L (976)Wi
- Seite 255 und 256: Betrachte Punkt i auf originalem Gi
- Seite 257 und 258: 7. Drücke zuletzt c k durch σ aus
- Seite 259 und 260: Je nachdem ist γ > 0 oder γ < 0 (
- Seite 261 und 262: KAPITEL 10: ERGODENTHEORIE§84 Birk
- Seite 263 und 264: Seien U und V beliebige Mengen in
- Seite 265 und 266: 2. Keplerproblem für mehr als zwei
- Seite 267 und 268: H 0 = H 0 (J)˙ J = − ∂H 0∂φ
- Seite 269 und 270: J = ∂W∂φφ ′ = ∂W∂J ′
- Seite 271 und 272:
Kan Trafo wurde gemacht auf J ′ ,
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