Um Curso de Calculo - Vol

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Pelo critério do limite, a série dada é convergente. Poderíamos,também, ter utilizado a série harmônica como série decomparação. Neste caso, teríamosPelo critério do limite, conclui-se que a série dada é convergente.Observação. O sucesso na utilização do critério do limite está exatamente na escolhaadequada da sériede comparação. Em muitos casos, as séries harmônicas ou asséries geométricas desempenham muito bem este papel.Exemplo 9A sérieé convergente ou divergente? Justifique.SoluçãoVamos tomar como série de comparação a série harmônicaTemosEntão,
Pelo critério do limite a série dada é divergente. (Observe que setomássemos como série de comparação a harmônica convergenteteríamos, também,Entretanto, neste caso, o critério do limite não nos forneceriainformação alguma sobre a convergência ou divergência da sériedada. Confira.)Exemplo 10A sérieé convergente ou divergente? Justifique.SoluçãoComoa série tem chance de serconvergente. Vamos tomar como série de comparação a harmônicaconvergenteTemosEntão,
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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Page 129: Pelo critério de Raabe, a série
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Exemplo 1Seja a série de potência
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Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
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Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
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Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
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3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
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desenvolvível em série de potênc
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Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
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Proceda, então, como no Exercício
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9.1Série de Fourier de uma Funçã
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Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
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edenominam-se coeficientes de Fouri
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e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
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ou seja,Portanto, a série de Fouri
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Exercícios 9.11. Determine a séri
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Vimos no Exemplo 5 da seção anter
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eTemosIntegrando por partes, vemem
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Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
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Pela hipótese, a série converge u
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Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
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Exemplo 3Determine uma série de Fo
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resolve o problema. De fato, g é c
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fazer mais alguns comentários sobr
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sendo a convergência uniforme no c
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9. Seja F : R → R dada porem que
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sendo a convergência uniforme em R
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com n inteiro. Esta afirmação dec
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Segue que F : R → R é a função
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10.1Equação Diferencial de 1a Ord
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O coeficiente angular da reta tange
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variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
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Exemplo 2A equação não admite so
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10.3 Equações de Variáveis Separ
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Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
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a) A solução constante y(x) = 0 s
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Assim, a função procurada é solu
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tanque é regida pela equaçãoTemo
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Segunda lei de Newtonem que m é a
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2. Determine y = y(x) que satisfaç
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a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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em que as integrais indicam primiti
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seguinte modo. A solução da equa
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repetindo este procedimento, ao fin
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2. Suponha E, R e C constantes não
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8. Uma partícula desloca-se sobre
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Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
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da população é regida pela equa
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resultaque é uma equação de vari
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2. Considere a equação Verifique
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Por outro lado, pela regra da cadei
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partícula é puxada novamente para
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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5. Uma partícula de massa m = 1 de
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complexa α + iβ, admitirá, tamb
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Exemplo 3Determine a solução gera
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evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
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Resolvendo este sistema, obtemosAss
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Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
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x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
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a posição da partícula no instan
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Por outro lado, se x = x(t), t ∈
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Logo,Deste modo,é uma solução pa
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Observação. Consideremos a equaç
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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em que P(t) é um polinômio de mes
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simples desta equação, segue do i
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x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
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ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
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+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
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e, portanto, . Logo,é uma soluçã
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Exemplo 13(Oscilação forçada com
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resultameA solução particular 10
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λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
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solução particular de ẍ + bẋ
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9. Determine a solução geral11.5
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seja uma solução particular de. T
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Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
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Integrando por partes, vemPara s >
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Seja f uma função definida em [0,
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Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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A expressãonão aparece na tabela,
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Para demonstrar o teorema de Lerch
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G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
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Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
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Exemplo 1O par de funções x = cos
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Agora, multiplicando a 2 a equaçã
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Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
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O importante teorema que destacarem
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é a solução geral de .Sendosolu
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e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
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Com estas notações, o sistemase e
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Soluçãoa) Os autovalores são as
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sistema admite uma solução do tip
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eExemplo 3Considere o sistemae seja
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e u, υ e w são vetores-colunas co
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A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
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diferenciais lineares de 1 a ordem
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De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
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Estamos, agora, em condições de e
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SoluçãoeA solução geral éExemp
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O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
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Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
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λ = 1 é o único autovalor. Deter
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(i é a unidade imaginária) seja s
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Pelo exemplo anterior,são, também
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3. Uma partícula é abandonada na
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b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
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S 2 (t) nos tanques estão variando
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Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
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diferente de zero, em t = 0, (W(0)
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em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
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O 4 o caso ocorrerá quando o siste
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e isto só será possível seDaí,
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(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
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Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
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Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
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Só para conferir, verifique que o
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ResolvaSoluçãoOs autovalores são
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Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
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Segue que, quaisquer que sejam os r
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Este é equivalente aSegue que o no
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Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
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Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
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2. O movimento de uma partícula no
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solução para A e B. Sejam x (t),
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é a solução geral da homogênea
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em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
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TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
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eAssim,é uma solução particular.
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Para finalizar a seção, vamos pro
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em queGeneralize.Exemplo 4Considere
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é uma solução particular de 11 e
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13.1 Equações Diferenciais Linear
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Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
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f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
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y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
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pode ser solução de alguma equaç
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Como f e g são soluções de , par
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em que p e q são supostas contínu
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0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
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y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
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independentes e que existam x 0 e x
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g como soluções.b) Ache a soluç
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Substituindo na equação e simplif
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da Seção 8.3.)7. Determine a solu
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TemosAqui, . A equação é equival
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Segue que(Confira.) Assim, tomando-
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É o que faremos a seguir. Calculem
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converge para todo x. Verifique.)O
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Substituindo eme simplificando, obt
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em que p (x), q (x) e r (x) são su
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SoluçãoPara podermos utilizar a f
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2. Considere a equação xy″ + xy
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Tal solução K p (x) denomina-se f
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15. Resolva o Exercício 10 com aux
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14.1 Teoremas de Existência e Unic
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Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
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(Lembre-se de que o domínio de uma
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eTemos as soluçõese
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Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
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não inclui todas as soluções de
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em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
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para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
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Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
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tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
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e, portanto,ou seja,As funções co
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são soluções de y″ = 2yy′ ta
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Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
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a) Determine a sequência de Picard
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Separam-se as variáveis e integra-
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Se k = 0, a expressão anterior for
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15.3Equação Generalizada de Berno
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
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satisfaz a condição inicial y(1)
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SoluçãoPor inspeção!! verifica-
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arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
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Separando as variáveis, obtemosDa
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e, portanto,Substituindo em, vemque
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ou seja,Separando as variáveis e i
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Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
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1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
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Observação. Se em lugar detivéss
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A importância deste resultado resi
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Exemplo 2Suponha que uma partícula
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Tendo em vista as condições inici
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daíe, portanto,Substituindo em e s
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15.15 Redução de uma Equação Di
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A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
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Da continuidade deem Ω, segue a co
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Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
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Deste modo, a sequência será unif
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para todo natural n ≥ 1 e para to
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para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
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para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
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Desse modo, A é limitado superiorm
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sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
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Observe queesão equivalentes aPara
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eEntão, para todo natural n,em que
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é a série de Fourier da funçãoN
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para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
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A função g é contínua, de class
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se f não for contínua em x.Além
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faremos, a seguir, é eliminar esta
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em x e parase f não for contínua
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Vamos, por enquanto, admitir que a
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é uma solução particular para a
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DemonstraçãoDa hipótese, segue q
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todo natural k. Entretanto, para o
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CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
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Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
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h) Convergentei) Convergentej) Dive
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Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
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CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
Page 763:
CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
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9. Seja y = f(x), x > 0, a função
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Exercícios 10.7
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Exercícios 10.9
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Page 781:
Exercícios 11.3
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Exercícios 11.5
Page 788:
3. O movimento é regido pelo siste
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Exercícios 12.5
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10. Sugestão: Observe que o sinal
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Observação. Seja y = y(x) a solu
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com aplicações. São Paulo: Harbr
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30. RUDIN, W. Principles of mathema
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SumárioVideoaulas exclusivasCapít
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Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
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Volume 4Capítulo Sequências Numé
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Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
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SoluçãoConsidere a funçãoObserv
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Calcule o limite da sequência, qua
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SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
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Claramente, a n+1 < a n para cada n
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Utilize essa desigualdade para most
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SoluçãoPelo Exercício 16, temos
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Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
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Desta forma, como o segundo membro
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SoluçãoReescreva a série comoObs
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SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
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12. Escreva a fração decimal 0,35
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Agora, como os coeficientes de P n
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16. Mostre que é divergente.Soluç
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e portanto a integralconverge.Clara
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5. Estude a convergência da série
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8. Mostrar que a sérieconverge par
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Logo, pelo critério do termo geral
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Pelo critério da raiz, se 1 < l <
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Desta forma,Segue do critério da r
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diverge, pois a sériediverge.Porta
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converge.4. Mostre que a sérieconv
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Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
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é uma série geométrica, e, porta
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10. Sejaconverge?Solução11. Seja
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Observe que as sériessão séries
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converge, finalizando o exercício.
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ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
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3. Utilize somente a definição pa
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SoluçãoT não precisa ser uma con
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Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
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Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
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Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
Page 885 and 886:
é convergente.Como a sequência (b
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Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
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Absurdo! Logo, f n ′ não converg
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converge uniformemente em R.Soluç
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10. Considere a sequênciaPodemosca
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13. Considere a sequência de funç
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f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
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Utilizaremos o critério da razão:
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Considere as somas parciais:Como a
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converge uniformemente em R.Como ca
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é uma função contínua em R.7. S
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Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
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para todo x ∈ R.Em particular, se
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Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
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13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
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converge uniformemente em B? Prove
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Capítulo Série de Potências81. M
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3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
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Agora, como | x | < r , temos quee
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Contudopara todo | x | < 1. Observe
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Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
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16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
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Logo, ambas as séries são converg
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Assim, de (1), temos:De 2, temos:
Page 941 and 942:
para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
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4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
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Pelo Exercício 6, como g é uma fu
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SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
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e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
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12. Seja f : R → R a função per
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13. Esboce o gráfico da função F
Page 957 and 958:
Portanto, a série de Fourier F de
Page 959 and 960:
SoluçãoCalculemos os coeficientes
Page 961 and 962:
SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
Page 965 and 966:
em que K é uma constante.Como y(0)
Page 967 and 968:
Integrando ambos os lados, temos qu
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3. Seja c > 0. A curva tractriz é
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Agora, voltando à variável y, tem
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5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
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8. Sendo determine a relação entr
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Voltando para a variável v, temos
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SoluçãoA equação se escreve com
Page 983 and 984:
em que K é uma constante não nula
Page 985 and 986:
é uma função contínua, pois h
Page 987 and 988:
Portanto, toda soluçãodo sistema
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satisfaz a equação de BernoulliSa
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Capítulo11Equações Diferenciais
Page 993 and 994:
3. Determine, passo a passo, a solu
Page 995 and 996:
com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
Page 997 and 998:
b) A equação característica éλ
Page 999 and 1000:
Assim,Portanto,8. Uma partícula de
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que tem raízesLogo a solução ger
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formaDerivando em relação a t, ob
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A solução da equação homogênea
Page 1007 and 1008:
14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
Page 1011 and 1012:
exponencial. Assim, calculando a tr
Page 1013 and 1014:
Capítulo12Sistemas de Duas e Três
Page 1015 and 1016:
SoluçãoA equação característic
Page 1017 and 1018:
SoluçãoNa forma matricial o siste
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Logo, são os autovalores de A.Auto
Page 1021 and 1022:
Logo, ±αi são os autovalores de
Page 1023 and 1024:
são periódicas e calcule os perí
Page 1025 and 1026:
SoluçãoA matriz associada a esse
Page 1027 and 1028:
em queé um vetor de R 3 . Desta fo
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em queé um vetor de R 2 . Desta fo
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Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
Page 1035 and 1036:
Portanto, a solução geral do sist
Page 1037 and 1038:
15. Seja A uma matriz real de ordem
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com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
Page 1041 and 1042:
que admita soluçõesSoluçãoO pri
Page 1043 and 1044:
logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
Page 1045 and 1046:
Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
Page 1049 and 1050:
É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1055 and 1056:
é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
Page 1059 and 1060:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
Page 1063 and 1064:
7. Encontre a solução y = y (x) d
Page 1065 and 1066:
logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
Page 1069 and 1070:
Portanto,12. Determine a sequência
Page 1071 and 1072:
Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
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