Um Curso de Calculo - Vol

com n inteiro. Esta afirmação decorre do fato de que a série de
Fourier de g a converge uniformemente a g a em R e g a coincide com a
f em cada intervalo da forma acima descrita. Observe que os
coeficientes de Fourier de g a tendem para os coeficientes de Fourier
de f quando a tende a zero. Desta observação e do que vimos acima
resulta ser razoável esperar que a série de Fourier de f convirja
uniformemente a f em todo intervalo fechado em que f for contínua.
O teorema que enunciaremos a seguir garante-nos que isto realmente
acontece.
Antes de enunciar o próximo teorema, introduziremos as seguintes
notações. Suponhamos que a função f admita limites laterais finitos no
ponto p. O limite lateral à direita será indicado por f (p + ) e o lateral à
esquerda, por f (p - ) :
e
Teorema. Seja f : R → R periódica com período 2π e de classe C 2 por partes em − π, π ], mas
não necessariamente contínua neste intervalo. Sejam a n , n ≥ 0 e b n , n ≥ 1 os coeficientes de
Fourier de f. Então, para todo x real, tem-se: se f for contínua em x,
se f não for contínua em x,