Um Curso de Calculo - Vol

(1 + x 2 ) y″ + 2xy′ = 0
que satisfaz as condições iniciais y (0) = 1 e y′ (0) = 1.
3. Determine a solução da equação
que satisfaz as condições iniciais y (2) = 0 e y′ (2) = 1.
4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação
de uma força que depende do tempo t e da velocidade v dada por
Sabe-se que no instante = 0 a partícula
t
encontra-se na posição x = x 0 e, neste instante, sua velocidade é v = v 0 ,
com v 0 ≠ 0. Verifique que a partícula descreve um movimento
uniformemente acelerado, com aceleração v 0 .
5. Sejam y = f (x) e y = g (x), x ∈ I, soluções da equação
y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,
em que p e q são supostas contínuas em I. Suponha que f′ (x 0 ) = g′ (x 0 )
= 0 e g (x 0 ) ≠ 0 para algum x 0 ∈ I. Prove que existe um real α tal que,
para todo x ∈ I, f (x) = αg (x).
(Sugestão: Tome α tal que f (x 0 ) = αg(x 0 ). Aplique o Exemplo 2 à
solução h (x) = f (x) 2 – x).)
6. Suponha que y = φ (x), x ∈ I, seja uma solução da equação do
exercício anterior. Sejam x 0 e x 1 no intervalo I tais que φ (x 0 ) ≠ 0 e φ
(x 1 ) = 0. Prove que φ′ (x 1 ) ≠ 0.
7. Considere a equação