Um Curso de Calculo - Vol

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Apêndice B Demonstrações dos Teoremas do Capítulo 5Apêndice CApêndice DDemonstrações do Teorema da Seção 6.1 e daPropriedade (7) da Seção 2.2Funções Integráveis Segundo RiemannApêndice E Demonstração do Teorema da Seção 13.4Apêndice FVolume 21 Funções Integráveis2 Função Dada por IntegralConstrução do Corpo Ordenado dos Números Reais3 Extensões do Conceito de Integral4 Aplicações à Estatística5 Equações Diferenciais Lineares de 1 a e 2 a Ordens, com CoeficientesConstantes6 Os Espaços R n7 Função de uma Variável Real a Valores em R n . Curvas8 Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais9 Limite e Continuidade10 Derivadas Parciais11 Funções Diferenciáveis12 Regra da Cadeia13 Gradiente e Derivada Direcional14 Derivadas Parciais de Ordens Superiores15 Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange16 Máximos e Mínimos17 Mínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicaçõesao Ajuste de Curvas
Apêndice AApêndice BFunções de uma Variável Real a Valores ComplexosUso da HP-48G, do Excel e do MathcadVolume 31 Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Vetoriais2 Integrais Duplas3 Cálculo de Integral Dupla. Teorema de Fubini4 Mudança de Variáveis na Integral Dupla5 Integrais Triplas6 Integrais de Linha7 Campos Conservativos8 Teorema de Green9 Área e Integral de Superfície10 Fluxo de um Campo Vetorial. Teorema da Divergência ou de Gauss11 Teorema de Stokes no EspaçoApêndice AApêndice BApêndice CApêndice DApêndice ETeorema de FubiniExistência de Integral DuplaEquação da ContinuidadeTeoremas da Função Inversa e da Função ImplícitaBrincando no MathcadVolume 41 Sequências Numéricas2 Séries Numéricas3 Critérios de Convergência e Divergência para Séries de TermosPositivos
Page 5 and 6: ■ Os autores deste livro e a edit
Page 7 and 8: Aos meus filhosMaristela e Hamilton
Page 9 and 10: Agradecimentos especiaisPara esta n
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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é decrescente epelo teorema acima,
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2.3 Uma Condição Necessária para
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A sequênciaé crescente edivergent
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3.1Critério da IntegralCritério d
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SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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2. Suponha que a função f : [0, +
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DemonstraçãoComo, para todo k ≥
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Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Do mesmo modo, prova-se que seentã
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SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
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oupara todo k ≥ p. A convergênci
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EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
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Pelo critério do limite, a série
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Pelo critério do limite, conclui-s
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(Sugestão: Para mostrar a converg
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positivos. Suponhamos que exista um
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Pelo critério de comparação de r
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Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
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então a série é convergente.Solu
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Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
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Segue quePelo critério da razão,
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DemonstraçãoVeja final da seção
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Exercícios 3.41. É convergente ou
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3.5Critério de Raabe
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Pelo critério de Raabe, a série
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Critério de De Morgan. Seja a sér
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(Confira!) Por outro lado, lembrand
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4.1 Série Absolutamente Convergent
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Para todo natural k,é também conv
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Comoresultapois,Seguedo critério d
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divergente para |x| > 1. Para |x| =
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2. Determine o domínio da função
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DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
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b) Mostre que existe uma reordenaç
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5.1Sequências de CauchyDizemos que
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l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Exemplo 1Seja a série de potência
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Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
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Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
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Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
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3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
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desenvolvível em série de potênc
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Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
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Proceda, então, como no Exercício
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9.1Série de Fourier de uma Funçã
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Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
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edenominam-se coeficientes de Fouri
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e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
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ou seja,Portanto, a série de Fouri
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Exercícios 9.11. Determine a séri
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Vimos no Exemplo 5 da seção anter
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eTemosIntegrando por partes, vemem
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Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
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Pela hipótese, a série converge u
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Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
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Exemplo 3Determine uma série de Fo
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resolve o problema. De fato, g é c
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fazer mais alguns comentários sobr
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sendo a convergência uniforme no c
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9. Seja F : R → R dada porem que
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sendo a convergência uniforme em R
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com n inteiro. Esta afirmação dec
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Segue que F : R → R é a função
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10.1Equação Diferencial de 1a Ord
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O coeficiente angular da reta tange
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variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
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Exemplo 2A equação não admite so
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10.3 Equações de Variáveis Separ
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Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
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a) A solução constante y(x) = 0 s
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Assim, a função procurada é solu
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tanque é regida pela equaçãoTemo
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Segunda lei de Newtonem que m é a
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2. Determine y = y(x) que satisfaç
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a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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em que as integrais indicam primiti
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seguinte modo. A solução da equa
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repetindo este procedimento, ao fin
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2. Suponha E, R e C constantes não
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8. Uma partícula desloca-se sobre
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Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
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da população é regida pela equa
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resultaque é uma equação de vari
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2. Considere a equação Verifique
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Por outro lado, pela regra da cadei
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partícula é puxada novamente para
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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5. Uma partícula de massa m = 1 de
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complexa α + iβ, admitirá, tamb
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Exemplo 3Determine a solução gera
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evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
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Resolvendo este sistema, obtemosAss
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Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
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x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
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a posição da partícula no instan
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Por outro lado, se x = x(t), t ∈
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Logo,Deste modo,é uma solução pa
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Observação. Consideremos a equaç
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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em que P(t) é um polinômio de mes
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simples desta equação, segue do i
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x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
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ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
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+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
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e, portanto, . Logo,é uma soluçã
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Exemplo 13(Oscilação forçada com
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resultameA solução particular 10
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λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
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solução particular de ẍ + bẋ
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9. Determine a solução geral11.5
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seja uma solução particular de. T
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Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
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Integrando por partes, vemPara s >
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Seja f uma função definida em [0,
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Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
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Exemplo 4Determine uma solução pa
Page 484 and 485:
A expressãonão aparece na tabela,
Page 486 and 487:
Para demonstrar o teorema de Lerch
Page 488 and 489:
G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
Page 490 and 491:
Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
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Exemplo 1O par de funções x = cos
Page 494 and 495:
Agora, multiplicando a 2 a equaçã
Page 496 and 497:
Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
Page 498 and 499:
O importante teorema que destacarem
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é a solução geral de .Sendosolu
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e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
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Com estas notações, o sistemase e
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Soluçãoa) Os autovalores são as
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sistema admite uma solução do tip
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eExemplo 3Considere o sistemae seja
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e u, υ e w são vetores-colunas co
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A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
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diferenciais lineares de 1 a ordem
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De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
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Estamos, agora, em condições de e
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SoluçãoeA solução geral éExemp
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O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
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Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
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λ = 1 é o único autovalor. Deter
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(i é a unidade imaginária) seja s
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Pelo exemplo anterior,são, também
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3. Uma partícula é abandonada na
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b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
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S 2 (t) nos tanques estão variando
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Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
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diferente de zero, em t = 0, (W(0)
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em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
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O 4 o caso ocorrerá quando o siste
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e isto só será possível seDaí,
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(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
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Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
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Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
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Só para conferir, verifique que o
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ResolvaSoluçãoOs autovalores são
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Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
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Segue que, quaisquer que sejam os r
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Este é equivalente aSegue que o no
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Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
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Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
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2. O movimento de uma partícula no
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solução para A e B. Sejam x (t),
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é a solução geral da homogênea
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em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
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TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
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eAssim,é uma solução particular.
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Para finalizar a seção, vamos pro
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em queGeneralize.Exemplo 4Considere
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é uma solução particular de 11 e
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13.1 Equações Diferenciais Linear
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Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
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f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
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y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
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pode ser solução de alguma equaç
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Como f e g são soluções de , par
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em que p e q são supostas contínu
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0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
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y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
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independentes e que existam x 0 e x
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g como soluções.b) Ache a soluç
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Substituindo na equação e simplif
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da Seção 8.3.)7. Determine a solu
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TemosAqui, . A equação é equival
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Segue que(Confira.) Assim, tomando-
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É o que faremos a seguir. Calculem
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converge para todo x. Verifique.)O
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Substituindo eme simplificando, obt
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em que p (x), q (x) e r (x) são su
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SoluçãoPara podermos utilizar a f
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2. Considere a equação xy″ + xy
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Tal solução K p (x) denomina-se f
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15. Resolva o Exercício 10 com aux
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14.1 Teoremas de Existência e Unic
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Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
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(Lembre-se de que o domínio de uma
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eTemos as soluçõese
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Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
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não inclui todas as soluções de
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em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
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para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
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Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
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tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
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e, portanto,ou seja,As funções co
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são soluções de y″ = 2yy′ ta
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Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
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a) Determine a sequência de Picard
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Separam-se as variáveis e integra-
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Se k = 0, a expressão anterior for
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15.3Equação Generalizada de Berno
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
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satisfaz a condição inicial y(1)
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SoluçãoPor inspeção!! verifica-
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arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
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Separando as variáveis, obtemosDa
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e, portanto,Substituindo em, vemque
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ou seja,Separando as variáveis e i
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Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
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1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
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Observação. Se em lugar detivéss
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A importância deste resultado resi
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Exemplo 2Suponha que uma partícula
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Tendo em vista as condições inici
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daíe, portanto,Substituindo em e s
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15.15 Redução de uma Equação Di
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A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
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Da continuidade deem Ω, segue a co
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Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
Page 705 and 706:
Deste modo, a sequência será unif
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para todo natural n ≥ 1 e para to
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para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
Page 711 and 712:
para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
Page 713 and 714:
Desse modo, A é limitado superiorm
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sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
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Observe queesão equivalentes aPara
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eEntão, para todo natural n,em que
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é a série de Fourier da funçãoN
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para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
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A função g é contínua, de class
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se f não for contínua em x.Além
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faremos, a seguir, é eliminar esta
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em x e parase f não for contínua
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Vamos, por enquanto, admitir que a
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é uma solução particular para a
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DemonstraçãoDa hipótese, segue q
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todo natural k. Entretanto, para o
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CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
Page 745:
Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
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Page 753 and 754:
h) Convergentei) Convergentej) Dive
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Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
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Page 760:
CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
Page 763:
CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
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9. Seja y = f(x), x > 0, a função
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Exercícios 10.7
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Exercícios 10.9
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Page 781:
Exercícios 11.3
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Exercícios 11.5
Page 788:
3. O movimento é regido pelo siste
Page 791 and 792:
Exercícios 12.5
Page 793:
10. Sugestão: Observe que o sinal
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Observação. Seja y = y(x) a solu
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com aplicações. São Paulo: Harbr
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30. RUDIN, W. Principles of mathema
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SumárioVideoaulas exclusivasCapít
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Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
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Volume 4Capítulo Sequências Numé
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Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
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SoluçãoConsidere a funçãoObserv
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Calcule o limite da sequência, qua
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SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
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Claramente, a n+1 < a n para cada n
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Utilize essa desigualdade para most
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SoluçãoPelo Exercício 16, temos
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Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
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Desta forma, como o segundo membro
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SoluçãoReescreva a série comoObs
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SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
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12. Escreva a fração decimal 0,35
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Agora, como os coeficientes de P n
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16. Mostre que é divergente.Soluç
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e portanto a integralconverge.Clara
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5. Estude a convergência da série
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8. Mostrar que a sérieconverge par
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Logo, pelo critério do termo geral
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Pelo critério da raiz, se 1 < l <
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Desta forma,Segue do critério da r
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diverge, pois a sériediverge.Porta
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converge.4. Mostre que a sérieconv
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Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
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é uma série geométrica, e, porta
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10. Sejaconverge?Solução11. Seja
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Observe que as sériessão séries
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converge, finalizando o exercício.
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ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
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3. Utilize somente a definição pa
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SoluçãoT não precisa ser uma con
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Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
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Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
Page 881 and 882:
Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
Page 885 and 886:
é convergente.Como a sequência (b
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Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
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Absurdo! Logo, f n ′ não converg
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converge uniformemente em R.Soluç
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10. Considere a sequênciaPodemosca
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13. Considere a sequência de funç
Page 897 and 898:
f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
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Utilizaremos o critério da razão:
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Considere as somas parciais:Como a
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converge uniformemente em R.Como ca
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é uma função contínua em R.7. S
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Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
Page 909 and 910:
para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 911 and 912:
Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
Page 913 and 914:
13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 917 and 918:
converge uniformemente em B? Prove
Page 919 and 920:
Capítulo Série de Potências81. M
Page 921 and 922:
3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
Page 927 and 928:
Agora, como | x | < r , temos quee
Page 929 and 930:
Contudopara todo | x | < 1. Observe
Page 931 and 932:
Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
Page 935 and 936:
16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
Page 937 and 938:
Logo, ambas as séries são converg
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Assim, de (1), temos:De 2, temos:
Page 941 and 942:
para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
Page 943 and 944:
4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
Page 947 and 948:
Pelo Exercício 6, como g é uma fu
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SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
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e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
Page 953 and 954:
12. Seja f : R → R a função per
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13. Esboce o gráfico da função F
Page 957 and 958:
Portanto, a série de Fourier F de
Page 959 and 960:
SoluçãoCalculemos os coeficientes
Page 961 and 962:
SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
Page 965 and 966:
em que K é uma constante.Como y(0)
Page 967 and 968:
Integrando ambos os lados, temos qu
Page 969 and 970:
3. Seja c > 0. A curva tractriz é
Page 971 and 972:
Agora, voltando à variável y, tem
Page 973 and 974:
5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
Page 977 and 978:
8. Sendo determine a relação entr
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Voltando para a variável v, temos
Page 981 and 982:
SoluçãoA equação se escreve com
Page 983 and 984:
em que K é uma constante não nula
Page 985 and 986:
é uma função contínua, pois h
Page 987 and 988:
Portanto, toda soluçãodo sistema
Page 989 and 990:
satisfaz a equação de BernoulliSa
Page 991 and 992:
Capítulo11Equações Diferenciais
Page 993 and 994:
3. Determine, passo a passo, a solu
Page 995 and 996:
com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
Page 997 and 998:
b) A equação característica éλ
Page 999 and 1000:
Assim,Portanto,8. Uma partícula de
Page 1001 and 1002:
que tem raízesLogo a solução ger
Page 1003 and 1004:
formaDerivando em relação a t, ob
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A solução da equação homogênea
Page 1007 and 1008:
14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
Page 1011 and 1012:
exponencial. Assim, calculando a tr
Page 1013 and 1014:
Capítulo12Sistemas de Duas e Três
Page 1015 and 1016:
SoluçãoA equação característic
Page 1017 and 1018:
SoluçãoNa forma matricial o siste
Page 1019 and 1020:
Logo, são os autovalores de A.Auto
Page 1021 and 1022:
Logo, ±αi são os autovalores de
Page 1023 and 1024:
são periódicas e calcule os perí
Page 1025 and 1026:
SoluçãoA matriz associada a esse
Page 1027 and 1028:
em queé um vetor de R 3 . Desta fo
Page 1029 and 1030:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
Page 1031 and 1032:
Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
Page 1035 and 1036:
Portanto, a solução geral do sist
Page 1037 and 1038:
15. Seja A uma matriz real de ordem
Page 1039 and 1040:
com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
Page 1041 and 1042:
que admita soluçõesSoluçãoO pri
Page 1043 and 1044:
logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
Page 1045 and 1046:
Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
Page 1049 and 1050:
É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1055 and 1056:
é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
Page 1059 and 1060:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
Page 1063 and 1064:
7. Encontre a solução y = y (x) d
Page 1065 and 1066:
logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
Page 1069 and 1070:
Portanto,12. Determine a sequência
Page 1071 and 1072:
Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
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