Um Curso de Calculo - Vol

Como f é uma função periódica com período 2π e de classe C 2 por partes em [–π, π], então, pelo
teorema da Seção 9.4, dado x ∈ R, temos que F(x) = f(x) se f for contínua em x e que
se f for descontínua em x.
Deste modo, como f é contínua nos intervalos (–π + 2kπ, π + 2kπ), com k ∈ Z, segue que
F(x) = mx + c, se x ≠ π + 2kπ, k ∈ Z.
Se x k = π + 2kπ, a função f é descontínua, pois m ≠ 0 implica
Assim
para todo k ∈ Z.
Portanto
Além disso, como as somas parciais da série de Fourier são funções contínuas em [0, 4], se a série
convergisse uniformemente em [0, 4], teríamos que o seu limite seria uma função contínua em [0,
4]. Contudo, F é descontínua em π ∈ [0, 4].
Logo, concluímos que a série não converge uniformemente em [0, 4].
15. Calcule a série de Fourier da função f(x) = e ax , –π ≤ x < π, em que a é
uma constante real não nula.