Um Curso de Calculo - Vol

Observe que cada f n é contínua em x = 1; entretanto, f não é contínua
neste ponto.
Seja f n uma sequência de funções que converge a f em B. O próximo
teorema fornece-nos uma condição suficiente para que a continuidade das
f n se transfira para a f.
Teorema 1. Seja f n uma sequência de funções e seja f : B → R dada por
Suponhamos que f n convirja uniformemente a f em B. Nestas condições, se cada f n for contínua
em x 0 ∈ B, então f será, também, contínua em x 0 .
Observação:
1. Segue do teorema acima, se cada f n for contínua em B e se a sequência f n convergir
uniformemente a f em B, em que f : B → R, então f será contínua em B.
2. Seja f : B → R dada por e seja x 0
∈ B. Se cada f n
for
contínua em x 0 e se f não for contínua neste ponto, então a convergência de f n a f não é
uniforme.
O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para que os símbolos e
possam ser permutados.
Teorema 2. Seja f : [a, b] → R dada por