Um Curso de Calculo - Vol

Exemplo 2
Suponha que uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox e que o
movimento seja regido pela equação
Suponha, ainda, que x(0) > 0 e ẋ (0) > 0. Seja x = x(t), t ∈ I, a
posição da partícula no instante t, em que I é um intervalo contendo
0.
a) Prove que, para todo t ∈ I, com t ≥ 0, ẋ (t) > 0.
b) Expresse a posição x em termos da velocidade v.
Solução
a) Suponhamos que exista t 1 ∈ I, t 1 > 0, tal que ẋ (t 1 ) = 0. Seja
É claro que T > 0. (Observe que pelo fato de ẋ ser contínua e ẋ (0) >
0, existe t 2 > 0 tal que ẋ (t) > 0 em [0, t 2 ].) Segue que ẋ (t) > 0 em [0,
T[. Como ẍ (t) > 0 em [0, T[ (por quê?), resulta ẋ (T) > ẋ (0) > 0. Pela
conservação do sinal existirá, então, T 1 > T tal que ẋ (t) > 0 em [T,
T 1 ] e, assim, T não poderá ser o ínfimo do conjunto.
Logo, ẋ (t) > 0 para todo t ∈ I, com t ≥ 0,
b) Segue do exemplo anterior que, para todo t ∈ I, t ≥ 0,
para alguma constante c. (É claro que c = v 0 – ln(v 0 + 1) –
, em
que x 0 = x(0) e v 0 = ẋ (0).) Daí, para todo t ∈ I, t ≥ 0.