Um Curso de Calculo - Vol

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Consideremos a equaçãoy′ = x 2 + y 2 .Comosão contínuas em R 2 , para cadaponto (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 existe uma solução satisfazendo a condição inicialy(x 0 ) = y 0 . Entretanto, como não sabemos resolver tal equação, qualquerinformação numérica sobre tais soluções deve ser obtida utilizandométodos de Cálculo Numérico. O que faremos nos próximos exemplos éobter algumas infor-mações qualitativas sobre a solução que satisfaz acondição inicial y(0) = 0.Exemplo 4Considere a equaçãoy' = x 2 + y 2 .Seja y = φ(x), x ∈ ]–r, r[, r > 0, uma solução que satisfaz a condiçãoinicial φ(0) = 0. Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de φ,
em volta de x 0 = 0.SoluçãoO polinômio pedido éVamos, então, calcular φ′(0), φ″(0) e φ′″(0). Para todo x no domíniode φ,Logo, φ′(0) = 0, pois φ(0) = 0.eφ′(x) = x 2 + φ 2 (x).φ″(x) = 2x + 2φ(x) φ′(x)φ′″(x) = 2 + 2φ′(x) φ′(x) + 2φ(x) φ″(x).Segue que φ″(0) = 0 e φ′″(0) = 2. EntãoAssim, para |x| suficientemente pequeno,Exemplo 5Seja y = φ(x), x ∈ ]–r, r[, a solução do exemplo anterior. Prove que,para todo x ∈ ]0, r[,
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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divergente.O símbolofoi usado para
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SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
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No próximo exemplo, consideramos u
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série, com erro inferior aExemplo
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a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
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Soluçãoa) Este problema será res
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Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
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b) TemosComoresulta que o erro que
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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é decrescente epelo teorema acima,
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2.3 Uma Condição Necessária para
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A sequênciaé crescente edivergent
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3.1Critério da IntegralCritério d
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SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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2. Suponha que a função f : [0, +
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DemonstraçãoComo, para todo k ≥
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Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Do mesmo modo, prova-se que seentã
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SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
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oupara todo k ≥ p. A convergênci
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EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
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Pelo critério do limite, a série
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Pelo critério do limite, conclui-s
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(Sugestão: Para mostrar a converg
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positivos. Suponhamos que exista um
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Pelo critério de comparação de r
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Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
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então a série é convergente.Solu
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Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
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Segue quePelo critério da razão,
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DemonstraçãoVeja final da seção
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Exercícios 3.41. É convergente ou
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3.5Critério de Raabe
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Pelo critério de Raabe, a série
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Critério de De Morgan. Seja a sér
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(Confira!) Por outro lado, lembrand
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4.1 Série Absolutamente Convergent
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Para todo natural k,é também conv
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Comoresultapois,Seguedo critério d
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divergente para |x| > 1. Para |x| =
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2. Determine o domínio da função
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DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
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b) Mostre que existe uma reordenaç
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5.1Sequências de CauchyDizemos que
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l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Exemplo 1Seja a série de potência
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Prove que, para todo n, a n = 0.Sol
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Tendo em vista que, a 0 = 1,Assim,F
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Comoresultaou seja,Exercícios 8.3
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3. Avalie ln 2 com erro inferior, e
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desenvolvível em série de potênc
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Conclua que, para todo x ∈ [0, 1]
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Proceda, então, como no Exercício
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9.1Série de Fourier de uma Funçã
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Seja, agora, k ≥ 1 um natural fix
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edenominam-se coeficientes de Fouri
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e, portanto,Como x 2 sen nx é uma
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ou seja,Portanto, a série de Fouri
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Exercícios 9.11. Determine a séri
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Vimos no Exemplo 5 da seção anter
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eTemosIntegrando por partes, vemem
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Weierstrass.■Exemplo 2Mostre que
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Pela hipótese, a série converge u
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Fazendo x = 0 em, obtemose, portant
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Exemplo 3Determine uma série de Fo
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resolve o problema. De fato, g é c
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fazer mais alguns comentários sobr
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sendo a convergência uniforme no c
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9. Seja F : R → R dada porem que
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sendo a convergência uniforme em R
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com n inteiro. Esta afirmação dec
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Segue que F : R → R é a função
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10.1Equação Diferencial de 1a Ord
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O coeficiente angular da reta tange
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variáveis separáveis.Exemplo 3Ver
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Exemplo 2A equação não admite so
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10.3 Equações de Variáveis Separ
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Exemplo 1Resolva a equaçãoSoluç
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a) A solução constante y(x) = 0 s
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Assim, a função procurada é solu
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tanque é regida pela equaçãoTemo
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Segunda lei de Newtonem que m é a
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2. Determine y = y(x) que satisfaç
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a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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em que as integrais indicam primiti
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seguinte modo. A solução da equa
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repetindo este procedimento, ao fin
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2. Suponha E, R e C constantes não
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8. Uma partícula desloca-se sobre
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Resolva a equaçãoSoluçãoTrata-s
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da população é regida pela equa
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resultaque é uma equação de vari
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2. Considere a equação Verifique
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Por outro lado, pela regra da cadei
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partícula é puxada novamente para
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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5. Uma partícula de massa m = 1 de
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complexa α + iβ, admitirá, tamb
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Exemplo 3Determine a solução gera
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evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
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Resolvendo este sistema, obtemosAss
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Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
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x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
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a posição da partícula no instan
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Por outro lado, se x = x(t), t ∈
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Logo,Deste modo,é uma solução pa
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Observação. Consideremos a equaç
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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em que P(t) é um polinômio de mes
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simples desta equação, segue do i
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x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
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ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
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+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
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e, portanto, . Logo,é uma soluçã
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Exemplo 13(Oscilação forçada com
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resultameA solução particular 10
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λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
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solução particular de ẍ + bẋ
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9. Determine a solução geral11.5
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seja uma solução particular de. T
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Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
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Integrando por partes, vemPara s >
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Seja f uma função definida em [0,
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Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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A expressãonão aparece na tabela,
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Para demonstrar o teorema de Lerch
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G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
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Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
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Exemplo 1O par de funções x = cos
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Agora, multiplicando a 2 a equaçã
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Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
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O importante teorema que destacarem
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é a solução geral de .Sendosolu
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e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
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Com estas notações, o sistemase e
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Soluçãoa) Os autovalores são as
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sistema admite uma solução do tip
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eExemplo 3Considere o sistemae seja
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e u, υ e w são vetores-colunas co
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A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
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diferenciais lineares de 1 a ordem
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De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
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Estamos, agora, em condições de e
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SoluçãoeA solução geral éExemp
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O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
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Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
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λ = 1 é o único autovalor. Deter
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(i é a unidade imaginária) seja s
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Pelo exemplo anterior,são, também
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3. Uma partícula é abandonada na
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b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
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S 2 (t) nos tanques estão variando
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Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
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diferente de zero, em t = 0, (W(0)
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em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
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O 4 o caso ocorrerá quando o siste
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e isto só será possível seDaí,
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(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
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Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
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Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
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Só para conferir, verifique que o
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ResolvaSoluçãoOs autovalores são
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Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
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Segue que, quaisquer que sejam os r
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Este é equivalente aSegue que o no
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Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
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Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
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2. O movimento de uma partícula no
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solução para A e B. Sejam x (t),
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é a solução geral da homogênea
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em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
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TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
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eAssim,é uma solução particular.
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Para finalizar a seção, vamos pro
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em queGeneralize.Exemplo 4Considere
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é uma solução particular de 11 e
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13.1 Equações Diferenciais Linear
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Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
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f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
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Page 597 and 598: pode ser solução de alguma equaç
Page 599 and 600: Como f e g são soluções de , par
Page 601 and 602: em que p e q são supostas contínu
Page 603 and 604: 0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
Page 605 and 606: y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
Page 607 and 608: independentes e que existam x 0 e x
Page 609 and 610: g como soluções.b) Ache a soluç
Page 611 and 612: Substituindo na equação e simplif
Page 613 and 614: da Seção 8.3.)7. Determine a solu
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Page 621 and 622: converge para todo x. Verifique.)O
Page 623 and 624: Substituindo eme simplificando, obt
Page 625 and 626: em que p (x), q (x) e r (x) são su
Page 627 and 628: SoluçãoPara podermos utilizar a f
Page 629 and 630: 2. Considere a equação xy″ + xy
Page 631 and 632: Tal solução K p (x) denomina-se f
Page 633 and 634: 15. Resolva o Exercício 10 com aux
Page 635 and 636: 14.1 Teoremas de Existência e Unic
Page 637 and 638: Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
Page 639 and 640: (Lembre-se de que o domínio de uma
Page 641 and 642: eTemos as soluçõese
Page 643 and 644: Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
Page 645: não inclui todas as soluções de
Page 649 and 650: para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
Page 651 and 652: Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
Page 653 and 654: tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
Page 655 and 656: e, portanto,ou seja,As funções co
Page 657 and 658: são soluções de y″ = 2yy′ ta
Page 659 and 660: Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
Page 661 and 662: a) Determine a sequência de Picard
Page 663 and 664: Separam-se as variáveis e integra-
Page 665 and 666: Se k = 0, a expressão anterior for
Page 667 and 668: 15.3Equação Generalizada de Berno
Page 669 and 670: Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
Page 671 and 672: satisfaz a condição inicial y(1)
Page 673 and 674: SoluçãoPor inspeção!! verifica-
Page 675 and 676: arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
Page 677 and 678: Separando as variáveis, obtemosDa
Page 679 and 680: e, portanto,Substituindo em, vemque
Page 681 and 682: ou seja,Separando as variáveis e i
Page 683 and 684: Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
Page 685 and 686: 1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
Page 687 and 688: Observação. Se em lugar detivéss
Page 689 and 690: A importância deste resultado resi
Page 691 and 692: Exemplo 2Suponha que uma partícula
Page 693 and 694: Tendo em vista as condições inici
Page 695 and 696: daíe, portanto,Substituindo em e s
Page 697 and 698:
15.15 Redução de uma Equação Di
Page 699 and 700:
A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
Page 701 and 702:
Da continuidade deem Ω, segue a co
Page 703 and 704:
Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
Page 705 and 706:
Deste modo, a sequência será unif
Page 707 and 708:
para todo natural n ≥ 1 e para to
Page 709 and 710:
para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
Page 711 and 712:
para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
Page 713 and 714:
Desse modo, A é limitado superiorm
Page 715 and 716:
sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
Page 717 and 718:
Observe queesão equivalentes aPara
Page 719 and 720:
eEntão, para todo natural n,em que
Page 721 and 722:
é a série de Fourier da funçãoN
Page 723 and 724:
para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
Page 725 and 726:
A função g é contínua, de class
Page 727 and 728:
se f não for contínua em x.Além
Page 729 and 730:
faremos, a seguir, é eliminar esta
Page 731 and 732:
em x e parase f não for contínua
Page 733 and 734:
Vamos, por enquanto, admitir que a
Page 735:
é uma solução particular para a
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DemonstraçãoDa hipótese, segue q
Page 740 and 741:
todo natural k. Entretanto, para o
Page 742 and 743:
CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
Page 745:
Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
Page 751 and 752:
Page 753 and 754:
h) Convergentei) Convergentej) Dive
Page 755 and 756:
Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
Page 758 and 759:
Page 760:
CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
Page 763:
CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
Page 768:
9. Seja y = f(x), x > 0, a função
Page 771 and 772:
Exercícios 10.7
Page 773 and 774:
Exercícios 10.9
Page 777 and 778:
Page 781:
Exercícios 11.3
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Exercícios 11.5
Page 788:
3. O movimento é regido pelo siste
Page 791 and 792:
Exercícios 12.5
Page 793:
10. Sugestão: Observe que o sinal
Page 800 and 801:
Observação. Seja y = y(x) a solu
Page 802 and 803:
com aplicações. São Paulo: Harbr
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30. RUDIN, W. Principles of mathema
Page 810 and 811:
SumárioVideoaulas exclusivasCapít
Page 812 and 813:
Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
Page 814 and 815:
Volume 4Capítulo Sequências Numé
Page 816 and 817:
Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
Page 818 and 819:
SoluçãoConsidere a funçãoObserv
Page 820 and 821:
Calcule o limite da sequência, qua
Page 822 and 823:
SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
Page 824 and 825:
Claramente, a n+1 < a n para cada n
Page 826 and 827:
Utilize essa desigualdade para most
Page 828 and 829:
SoluçãoPelo Exercício 16, temos
Page 830 and 831:
Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
Page 832 and 833:
Desta forma, como o segundo membro
Page 834 and 835:
SoluçãoReescreva a série comoObs
Page 836 and 837:
SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
Page 838 and 839:
12. Escreva a fração decimal 0,35
Page 840 and 841:
Agora, como os coeficientes de P n
Page 842 and 843:
16. Mostre que é divergente.Soluç
Page 844 and 845:
e portanto a integralconverge.Clara
Page 847 and 848:
5. Estude a convergência da série
Page 849 and 850:
8. Mostrar que a sérieconverge par
Page 851 and 852:
Logo, pelo critério do termo geral
Page 853 and 854:
Pelo critério da raiz, se 1 < l <
Page 855 and 856:
Desta forma,Segue do critério da r
Page 857 and 858:
diverge, pois a sériediverge.Porta
Page 859 and 860:
converge.4. Mostre que a sérieconv
Page 861 and 862:
Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
Page 863 and 864:
é uma série geométrica, e, porta
Page 865 and 866:
10. Sejaconverge?Solução11. Seja
Page 867 and 868:
Observe que as sériessão séries
Page 869 and 870:
converge, finalizando o exercício.
Page 871 and 872:
ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
Page 873 and 874:
3. Utilize somente a definição pa
Page 875 and 876:
SoluçãoT não precisa ser uma con
Page 877 and 878:
Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
Page 879 and 880:
Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
Page 881 and 882:
Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
Page 883 and 884:
14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
Page 885 and 886:
é convergente.Como a sequência (b
Page 887 and 888:
Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
Page 889 and 890:
Absurdo! Logo, f n ′ não converg
Page 891 and 892:
converge uniformemente em R.Soluç
Page 893 and 894:
10. Considere a sequênciaPodemosca
Page 895 and 896:
13. Considere a sequência de funç
Page 897 and 898:
f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
Page 899 and 900:
Utilizaremos o critério da razão:
Page 901 and 902:
Considere as somas parciais:Como a
Page 903 and 904:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 905 and 906:
é uma função contínua em R.7. S
Page 907 and 908:
Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
Page 909 and 910:
para todo x ∈ R.Em particular, se
Page 911 and 912:
Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
Page 913 and 914:
13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
Page 917 and 918:
converge uniformemente em B? Prove
Page 919 and 920:
Capítulo Série de Potências81. M
Page 921 and 922:
3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
Page 927 and 928:
Agora, como | x | < r , temos quee
Page 929 and 930:
Contudopara todo | x | < 1. Observe
Page 931 and 932:
Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
Page 935 and 936:
16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
Page 937 and 938:
Logo, ambas as séries são converg
Page 939 and 940:
Assim, de (1), temos:De 2, temos:
Page 941 and 942:
para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
Page 943 and 944:
4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
Page 947 and 948:
Pelo Exercício 6, como g é uma fu
Page 949 and 950:
SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
Page 951 and 952:
e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
Page 953 and 954:
12. Seja f : R → R a função per
Page 955 and 956:
13. Esboce o gráfico da função F
Page 957 and 958:
Portanto, a série de Fourier F de
Page 959 and 960:
SoluçãoCalculemos os coeficientes
Page 961 and 962:
SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
Page 965 and 966:
em que K é uma constante.Como y(0)
Page 967 and 968:
Integrando ambos os lados, temos qu
Page 969 and 970:
3. Seja c > 0. A curva tractriz é
Page 971 and 972:
Agora, voltando à variável y, tem
Page 973 and 974:
5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
Page 977 and 978:
8. Sendo determine a relação entr
Page 979 and 980:
Voltando para a variável v, temos
Page 981 and 982:
SoluçãoA equação se escreve com
Page 983 and 984:
em que K é uma constante não nula
Page 985 and 986:
é uma função contínua, pois h
Page 987 and 988:
Portanto, toda soluçãodo sistema
Page 989 and 990:
satisfaz a equação de BernoulliSa
Page 991 and 992:
Capítulo11Equações Diferenciais
Page 993 and 994:
3. Determine, passo a passo, a solu
Page 995 and 996:
com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
Page 997 and 998:
b) A equação característica éλ
Page 999 and 1000:
Assim,Portanto,8. Uma partícula de
Page 1001 and 1002:
que tem raízesLogo a solução ger
Page 1003 and 1004:
formaDerivando em relação a t, ob
Page 1005 and 1006:
A solução da equação homogênea
Page 1007 and 1008:
14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
Page 1011 and 1012:
exponencial. Assim, calculando a tr
Page 1013 and 1014:
Capítulo12Sistemas de Duas e Três
Page 1015 and 1016:
SoluçãoA equação característic
Page 1017 and 1018:
SoluçãoNa forma matricial o siste
Page 1019 and 1020:
Logo, são os autovalores de A.Auto
Page 1021 and 1022:
Logo, ±αi são os autovalores de
Page 1023 and 1024:
são periódicas e calcule os perí
Page 1025 and 1026:
SoluçãoA matriz associada a esse
Page 1027 and 1028:
em queé um vetor de R 3 . Desta fo
Page 1029 and 1030:
em queé um vetor de R 2 . Desta fo
Page 1031 and 1032:
Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
Page 1035 and 1036:
Portanto, a solução geral do sist
Page 1037 and 1038:
15. Seja A uma matriz real de ordem
Page 1039 and 1040:
com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
Page 1041 and 1042:
que admita soluçõesSoluçãoO pri
Page 1043 and 1044:
logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
Page 1045 and 1046:
Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
Page 1049 and 1050:
É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
Page 1055 and 1056:
é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
Page 1059 and 1060:
Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
Page 1063 and 1064:
7. Encontre a solução y = y (x) d
Page 1065 and 1066:
logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
Page 1069 and 1070:
Portanto,12. Determine a sequência
Page 1071 and 1072:
Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
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