Um Curso de Calculo - Vol

que satisfaz a condição inicial y(1) = 1 resolve o problema. Como
queremos uma solução que passa pelo ponto (1, 1), podemos nos
restringir ao semiplano y < 2x que contém este ponto. Neste
semiplano a equação é equivalente a
(x + 2y) dx + (2x – y) dy = 0
que é uma equação diferencial exata (verifique). Vamos, agora,
determinar φ tal que
Integrando a 1 a equação em relação a x, vem
em que k = k(y) é uma função a ser determinada e que só depende de
y. Temos, então, que determinar k de modo que a derivada de φ em
relação a y dê 2x – y. Olhando atentamente para a expressão de φ,
conclui-se que devemos ter
concorda? Assim,
resolve o problema. Como φ(1, 1) = 2, a função que queremos é dada
implicitamente pela equação