Um Curso de Calculo - Vol

y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 ) = y 0 .
Nestas condições, existe d > 0 tal que
y 1 (x) = y 2 (x) em [x 0 – d, x 0 + d].
Demonstração
Seja Q o retângulo
x 0 – a ≤ x ≤ x 0 + a, y 0 – b ≤ y ≤ y 0 + b.
Da continuidade de y 1 e y 2 segue que existe d 1 > 0, com d 1 ≤ a, tal que
(x, y 1 (x)) e (x, y 2 (x))
pertencem ao retângulo Q, para todo x no intervalo [x 0 – d 1 , x 0 + d 1 ]. Pelo
lema 2 da Seção A.1,
para todo s ∈ [x 0 – d 1 , x 0 + d 1 ]. Tomemos d > 0 tal que
d ≤ d 1 e Kd < 1.
Como y 1 = y 1 (x) e y 2 = y 2 (x) são soluções da equação tais que y 1 (x 0 ) = y 2 (x 0 )
= y 0 , resultam
e
para x ∈ [x 0 – d, x 0 + d].
Segue que