Um Curso de Calculo - Vol

Solução
Pelo critério de comparação de razões (os termos da série são positivos para r > 0), sabemos que
se existe 0 < α < 1 tal que o termo geral
satisfaça
para todo k ∈ N, então a série é convergente.
Neste caso
Logo, se 0 < r < 1 então a série é convergente.
Se r ≥ 1, então
Pelo critério de comparação, temos que a série diverge.
Se r = 0, então todos os termos são nulos e portanto a série é convergente a 0.
Se –1 ≤ r < 0 então a série pode ser escrita como
e portanto é uma série alternada tal que
é decrescente e convergente a 0. Pelo
critério das séries alternadas, segue que a série é convergente.
Se r < 1, então o limite do termo geral não existe, pois: