Um Curso de Calculo - Vol

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com n inteiro. Esta afirmação decorre do fato de que a série deFourier de g a converge uniformemente a g a em R e g a coincide com af em cada intervalo da forma acima descrita. Observe que oscoeficientes de Fourier de g a tendem para os coeficientes de Fourierde f quando a tende a zero. Desta observação e do que vimos acimaresulta ser razoável esperar que a série de Fourier de f convirjauniformemente a f em todo intervalo fechado em que f for contínua.O teorema que enunciaremos a seguir garante-nos que isto realmenteacontece.Antes de enunciar o próximo teorema, introduziremos as seguintesnotações. Suponhamos que a função f admita limites laterais finitos noponto p. O limite lateral à direita será indicado por f (p + ) e o lateral àesquerda, por f (p - ) :eTeorema. Seja f : R → R periódica com período 2π e de classe C 2 por partes em − π, π ], masnão necessariamente contínua neste intervalo. Sejam a n , n ≥ 0 e b n , n ≥ 1 os coeficientes deFourier de f. Então, para todo x real, tem-se: se f for contínua em x,se f não for contínua em x,
Além disso, a convergência será uniforme em todo intervalo fechado em que a f for contínua.Observação. O teorema acima ainda será verdadeiro se a hipótese “classe C 2 por partes” fortrocada por “classe C 1 por partes”.A demonstração deste teorema é deixada para a Seção B.3 do Apêndice B.Exemplo 3Seja f : R → R a função periódica, com período 2π, dada porEsboce o gráfico da função f : R → R dada porem que a série do 2 o membro é a série de Fourier de f.SoluçãoComo f é periódica de período 2π e de classe C 2 por partes em [ –π, π], podemos aplicar o teorema anterior. Assim,
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■ Os autores deste livro e a edit
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Aos meus filhosMaristela e Hamilton
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Agradecimentos especiaisPara esta n
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O que há de novo nesta 6 a ediçã
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■ Videoaulas com solução de exe
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■ Exercícios
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Sumário geralVolume 11 Números Re
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Apêndice AApêndice BFunções de
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Sumário1 Sequências Numéricas1.1
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10.5 Equação de Bernoulli10.6 Equ
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Teorema de Existência e Unicidade
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Exemplo 2Seja a sequência de termo
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Exemplo 5CalculeSoluçãoExemplo 6(
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Exemplo 8Considere uma sequência d
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(Observe que, para )Assim,Portanto,
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Exercícios 1.11. Determine o termo
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Sejaéconvergente ou divergente? Ju
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1.2 Sequências Crescentes e Sequê
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n > n 0 ⇒ a - ε < a n .Mas, para
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Como a sequênciaé crescente eresu
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1. É convergente ou divergente? Ju
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8. A sequência de termo geralé co
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divergente.O símbolofoi usado para
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SoluçãoComoDaíLogo, a série dad
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No próximo exemplo, consideramos u
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série, com erro inferior aExemplo
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a) É o exemplo 3 com α = 2.b) Pel
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Soluçãoa) Este problema será res
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Pelo exemplo anterior,Ainda pelo ex
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b) TemosComoresulta que o erro que
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6. Supondo 0 < α < 1, mostre que7.
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12. Determine nde modo que seja um
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(Interprete geometricamente α m .)
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22. Considere a função Seja E >1
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s 2n ≤ s 2n - 2 .Isto decorre do
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é decrescente epelo teorema acima,
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2.3 Uma Condição Necessária para
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A sequênciaé crescente edivergent
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3.1Critério da IntegralCritério d
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SoluçãoExemplo 2Seja α > 0, com
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2. Suponha que a função f : [0, +
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DemonstraçãoComo, para todo k ≥
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Exemplo 2A sérieé convergente ou
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Do mesmo modo, prova-se que seentã
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SoluçãoTemos:Tomando-seexiste um
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oupara todo k ≥ p. A convergênci
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EntãoDemonstraçãoa) De e real, s
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Pelo critério do limite, a série
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Pelo critério do limite, conclui-s
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(Sugestão: Para mostrar a converg
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positivos. Suponhamos que exista um
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Pelo critério de comparação de r
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Soluçãoa) Fica para o leitor.b) I
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então a série é convergente.Solu
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Exemplo 2Mostre que a sérieé dive
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Segue quePelo critério da razão,
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DemonstraçãoVeja final da seção
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Exercícios 3.41. É convergente ou
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3.5Critério de Raabe
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Pelo critério de Raabe, a série
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Critério de De Morgan. Seja a sér
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(Confira!) Por outro lado, lembrand
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4.1 Série Absolutamente Convergent
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Para todo natural k,é também conv
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Comoresultapois,Seguedo critério d
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divergente para |x| > 1. Para |x| =
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2. Determine o domínio da função
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DemonstraçãoPara todo n ≥ 0,
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b) Mostre que existe uma reordenaç
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5.1Sequências de CauchyDizemos que
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l 0 = inf {a 0 , a 1 , a 2 , ...}l
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tendo em vistaque, para todo ε ≥
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1. Dizemos que uma função T: R
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para todo ε > 0 dado, existir um n
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Exemplo 2Prove que a sérieé conve
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conjugado do denominador e fazendo
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e, portanto,Pelo lema de Abel (exem
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5. Olhando para a identidade de Abe
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SoluçãoPrecisamos mostrar que, pa
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SoluçãoO domínio de f é o conju
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b) Para cada x ∈ [0, 1], (por qu
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depender de ε e de x) tal queMostr
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converge uniformemente a f emSoluç
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Para todo n ≥ 1, existe x ∈ ]-1
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Se a convergência fosse uniforme,
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b) A sequência f n , n ≥ 1, conv
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Observe que cada f n é contínua e
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Teorema 3. Seja f n uma sequência
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Critério de Cauchy. Uma sequência
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Da hipótese de cada f n ser contí
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7.1Série de FunçõesUma série de
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Observe que7.3 O Critério M de Wei
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Soluçãoa) Para todo x e para todo
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Seção 6.3,DesegueMas,Logo,Observa
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6. Sejam a k , k ≥ 0, e b k , k
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b) Prove que a sérieé uniformemen
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Como a convergência é uniforme em
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Para todo x real e para todo k ≥
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Não É Derivável em Nenhum Ponto
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é uniformemente convergente em R e
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daíDo que vimos acima resultaou se
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8.1Série de PotênciasSeja a n n
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a série alternadaque já sabemos q
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fosse convergente, pelo teorema da
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ou seja, convergirá, para todo x,
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Determinemos seu raio de convergên
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2. Seja α um real dado, com α > 0
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DemonstraçãoDemonstraçãoFica a
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Page 274 and 275: sendo a convergência uniforme no c
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Page 278 and 279: sendo a convergência uniforme em R
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Page 307 and 308: a A seja sempre 2.10.4Equações Li
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Integrando, obtemosPara que as cond
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se os dois membros da equaçãoTemo
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b) Para v > -1, temos v + 1 > 0. As
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c) Suponhamos Então, a relaçãoen
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forma, o movimento do corpo é regi
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Sejam P(x, y) e Q(x, y) contínuas
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é necessária e suficiente para a
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Tendo em vista o exemplo anterior,
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que satisfaz a condição inicial y
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Observação. Às vezes é preferí
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e, deste modo, se γ(t) = (x, y) fo
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4. Uma partícula desloca-se sobre
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para alguma função h de uma vari
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TemosA equação não é exata, poi
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SoluçãoSubstituindo em, vemSeent
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com t = xy. TemosSegue do exemplo a
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5. Estabeleça uma fórmula para as
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em que h(t) é função de uma vari
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Suponha que no instante t = 0 a par
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Procedendo como no exemplo anterior
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restrição t ∈ pode ser eliminad
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que satisfaça as condições x(0)
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I,logo, existe uma constante c tal
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eDaí e pelo fato de -, resultaLogo
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Como t(θ 0 ) = t 0 e t(θ 1 ) = t
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x 2 - y 2 = c,que é uma família d
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A partícula descreve o movimento s
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Substituindo na 1 a equação do si
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é solução de .Exemplo 12Consider
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ou seja,Tendo em conta e , resultal
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e, portanto,ln ρ - ln(1 - cos θ)
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2. Determine uma função y = f(x)
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5. Um objeto aquecido a 80 °C é c
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f(x), 0 ≤ x ≤ t, seja igual a 2
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transforma a equaçãonuma de vari
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Desenhe a trajetória descrita pela
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definem implicitamente soluções y
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Como f é contínua em I, e at f(t)
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A solução que satisfaz a condiç
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1. Determine a solução geral.2. U
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(II) Se λ 1 = λ 2 , a solução g
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Determine a solução geral.Soluç
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resultaou seja,Trata-se, então, de
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Exemplo 7Uma partícula de massa m
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λ = -γ ± ω 1 i,em que . A solu
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ou seja,ẍ + 4ẋ + 5x = 0.A solu
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ou seja,x = e -t [A 1 e it + B 1 e
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5. Uma partícula de massa m = 1 de
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complexa α + iβ, admitirá, tamb
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Exemplo 3Determine a solução gera
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evidentemente, se λ 1 = λ 2 , ent
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Resolvendo este sistema, obtemosAss
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Como θ ∈ [0, 2π[, resultaAs ra
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x = A 1 e it + B 1 te it + C 1 e -i
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a posição da partícula no instan
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Por outro lado, se x = x(t), t ∈
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Logo,Deste modo,é uma solução pa
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Observação. Consideremos a equaç
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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em que P(t) é um polinômio de mes
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simples desta equação, segue do i
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x h = Ae 2t + Bte 2t .(Verifique.)
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ẍ + x = e t cost.SoluçãoAs raí
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+ N sen β 1 t), em que α, α 1 ,
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e, portanto, . Logo,é uma soluçã
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Exemplo 13(Oscilação forçada com
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resultameA solução particular 10
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λ + 2 = 0.Logo, a solução da hom
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solução particular de ẍ + bẋ
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9. Determine a solução geral11.5
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seja uma solução particular de. T
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Temosou seja,∫sent tgt dt = ln(se
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Integrando por partes, vemPara s >
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Seja f uma função definida em [0,
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Demonstraçãoa) Suponhamos que f s
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Exemplo 4Determine uma solução pa
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A expressãonão aparece na tabela,
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Para demonstrar o teorema de Lerch
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G(t) = 0 em [0, 1].Vamos, agora, de
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Logo,h(t) = 0 em [0, +∞[.■Para
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Exemplo 1O par de funções x = cos
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Agora, multiplicando a 2 a equaçã
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Se λ 1 ≠ λ 2 e reais, a soluç
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O importante teorema que destacarem
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é a solução geral de .Sendosolu
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e, portanto,Assim, W = W (t) é uma
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Com estas notações, o sistemase e
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Soluçãoa) Os autovalores são as
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sistema admite uma solução do tip
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eExemplo 3Considere o sistemae seja
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e u, υ e w são vetores-colunas co
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A (αu + βυ) = A0e, portanto,αAu
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diferenciais lineares de 1 a ordem
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De λ 1 ≠ λ 3 e λ 2 ≠ λ 3 ,
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Estamos, agora, em condições de e
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SoluçãoeA solução geral éExemp
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O autovalor λ 2 = 3 fornece a solu
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Assim, o autovalor λ 1 = −1 forn
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λ = 1 é o único autovalor. Deter
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(i é a unidade imaginária) seja s
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Pelo exemplo anterior,são, também
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3. Uma partícula é abandonada na
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b) Se λ 1 = α + iβ e λ 2 = α
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S 2 (t) nos tanques estão variando
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Suponha que T 1 (0) = 20 e T 2 (0)
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diferente de zero, em t = 0, (W(0)
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em que λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 e
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O 4 o caso ocorrerá quando o siste
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e isto só será possível seDaí,
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(A − λ 1 I) 2 υ = 0.O υ procur
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Exemplo 1ResolvaSoluçãoA soluçã
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Daí, n = −2p e m = 0. Os autovet
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Só para conferir, verifique que o
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ResolvaSoluçãoOs autovalores são
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Exemplo 6ResolvaSoluçãoOs autoval
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Segue que, quaisquer que sejam os r
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Este é equivalente aSegue que o no
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Tomando-se p = 0, resultam m = 3 e
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Como λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = (
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2. O movimento de uma partícula no
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solução para A e B. Sejam x (t),
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é a solução geral da homogênea
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em que c 1 (t) e c 2 (t) são dadas
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TemosSegue queeDaí,Portanto,Exempl
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eAssim,é uma solução particular.
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Para finalizar a seção, vamos pro
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em queGeneralize.Exemplo 4Considere
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é uma solução particular de 11 e
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13.1 Equações Diferenciais Linear
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Resolva a equaçãoSoluçãoFaçamo
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f(x 0 ) = 0 e f ′ (x 0 ) = 0para
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y″ - (x 2 + 1) y = 0.Seja y = f (
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pode ser solução de alguma equaç
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Como f e g são soluções de , par
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em que p e q são supostas contínu
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0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f
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y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0com
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independentes e que existam x 0 e x
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g como soluções.b) Ache a soluç
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Substituindo na equação e simplif
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da Seção 8.3.)7. Determine a solu
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TemosAqui, . A equação é equival
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Segue que(Confira.) Assim, tomando-
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É o que faremos a seguir. Calculem
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converge para todo x. Verifique.)O
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Substituindo eme simplificando, obt
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em que p (x), q (x) e r (x) são su
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SoluçãoPara podermos utilizar a f
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2. Considere a equação xy″ + xy
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Tal solução K p (x) denomina-se f
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15. Resolva o Exercício 10 com aux
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14.1 Teoremas de Existência e Unic
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Assim,são contínuas em Ω = R 2 .
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(Lembre-se de que o domínio de uma
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eTemos as soluçõese
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Exemplo 2Mostre que a equaçãoadmi
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não inclui todas as soluções de
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em volta de x 0 = 0.SoluçãoO poli
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para todo x ∈ ]-r, r[.SoluçãoCo
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Exemplo 8Seja y = φ(x), x ∈ ]-r,
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tem o seguinte aspecto.Exemplo 9Res
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e, portanto,ou seja,As funções co
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são soluções de y″ = 2yy′ ta
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Avalie φ(x) para x = 0,01. Estime
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a) Determine a sequência de Picard
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Separam-se as variáveis e integra-
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Se k = 0, a expressão anterior for
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15.3Equação Generalizada de Berno
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Exemplo 3ResolvaSoluçãoA equaçã
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satisfaz a condição inicial y(1)
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SoluçãoPor inspeção!! verifica-
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arctg u = x + ce, portanto,Assim,y
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Separando as variáveis, obtemosDa
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e, portanto,Substituindo em, vemque
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ou seja,Separando as variáveis e i
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Como ẋ(0) = e x(0) = 0, resulta c
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1 a ordemxu ' + u = 4.Achada u = u(
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Observação. Se em lugar detivéss
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A importância deste resultado resi
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Exemplo 2Suponha que uma partícula
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Tendo em vista as condições inici
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daíe, portanto,Substituindo em e s
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15.15 Redução de uma Equação Di
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A.1PreliminaresLema 1. Seja a equa
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Da continuidade deem Ω, segue a co
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Como, para todo s ∈ [x 0 - r, x 0
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Deste modo, a sequência será unif
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para todo natural n ≥ 1 e para to
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para todo x ∈ [x 0 - r, x 0 + r],
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para todo x ∈ [x 0 - d, x 0 + d].
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Desse modo, A é limitado superiorm
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sen nx sen mx e cos nx cos mxsão p
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Observe queesão equivalentes aPara
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eEntão, para todo natural n,em que
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é a série de Fourier da funçãoN
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para todo x ∈ [a, π] e quaisquer
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A função g é contínua, de class
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se f não for contínua em x.Além
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faremos, a seguir, é eliminar esta
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em x e parase f não for contínua
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Vamos, por enquanto, admitir que a
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é uma solução particular para a
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DemonstraçãoDa hipótese, segue q
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todo natural k. Entretanto, para o
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CAPÍTULO 1Exercícios 1.1
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Exercícios 1.2CAPÍTULO 2Exercíci
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h) Convergentei) Convergentej) Dive
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Exercícios 4.3Somando −ao 1 o me
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CAPÍTULO 8Exercícios 8.2é absolu
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CAPÍTULO 10Exercícios 10.2Exercí
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9. Seja y = f(x), x > 0, a função
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Exercícios 10.7
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Exercícios 10.9
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Exercícios 11.3
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Exercícios 11.5
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3. O movimento é regido pelo siste
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Exercícios 12.5
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10. Sugestão: Observe que o sinal
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Observação. Seja y = y(x) a solu
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com aplicações. São Paulo: Harbr
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30. RUDIN, W. Principles of mathema
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SumárioVideoaulas exclusivasCapít
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Capítulo2Capítulo 3Capítulo 4Cap
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Volume 4Capítulo Sequências Numé
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Pela arbitrariedade de ε > 0, segu
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SoluçãoConsidere a funçãoObserv
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Calcule o limite da sequência, qua
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SoluçãoDado ε > 0. Se ε < 1 ent
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Claramente, a n+1 < a n para cada n
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Utilize essa desigualdade para most
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SoluçãoPelo Exercício 16, temos
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Assim,e, portanto,2. Calcule a soma
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Desta forma, como o segundo membro
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SoluçãoReescreva a série comoObs
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SoluçãoConsidere a funçãoDeriva
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12. Escreva a fração decimal 0,35
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Agora, como os coeficientes de P n
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16. Mostre que é divergente.Soluç
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e portanto a integralconverge.Clara
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5. Estude a convergência da série
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8. Mostrar que a sérieconverge par
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Logo, pelo critério do termo geral
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Pelo critério da raiz, se 1 < l <
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Desta forma,Segue do critério da r
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diverge, pois a sériediverge.Porta
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converge.4. Mostre que a sérieconv
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Neste caso, L = x/e x .Agora, se x
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é uma série geométrica, e, porta
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10. Sejaconverge?Solução11. Seja
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Observe que as sériessão séries
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converge, finalizando o exercício.
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ConsidereDefina:SoluçãoSesão abs
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3. Utilize somente a definição pa
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SoluçãoT não precisa ser uma con
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Logo, dado p ∈ N arbitrário:Assi
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Agora, se n 1 > n 2 , entãoComo f
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Agora, a n = π/2 arctg(n) é uma s
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14. Seja C 0 = {(a n ); (a n ) é u
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é convergente.Como a sequência (b
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Se | x | > 1, então x 2n → ∞,
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Absurdo! Logo, f n ′ não converg
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converge uniformemente em R.Soluç
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10. Considere a sequênciaPodemosca
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13. Considere a sequência de funç
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f(-π/2, π/2) = 1.A convergência
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Utilizaremos o critério da razão:
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Considere as somas parciais:Como a
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converge uniformemente em R.Como ca
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é uma função contínua em R.7. S
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Dica: Se f :[a, b] → R é uma fun
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para todo x ∈ R.Em particular, se
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Desta forma,para todo x ∈ I.Comoc
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13. SejaSoluçãoSeja I = [-1, 1],
Page 915 and 916:
converge uniformemente em R.Como ca
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converge uniformemente em B? Prove
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Capítulo Série de Potências81. M
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3. Calcule o raio de convergência
Page 923 and 924:
5. Calcule o domínio Dde em que a
Page 925 and 926:
Para cada x ∈ (-r, r), temos ques
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Agora, como | x | < r , temos quee
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Contudopara todo | x | < 1. Observe
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Agora, se n é ímpar, entãoLogo,
Page 933 and 934:
No nosso caso, a n = (-1) n , e por
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16. Mostre quepara todo x ∈ R.Dic
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Logo, ambas as séries são converg
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Assim, de (1), temos:De 2, temos:
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para todo n ≥ 2.Deste modo, a sé
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4. Existem senos na série de Fouri
Page 945 and 946:
Deste modo,para todo n ∈ N, já q
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Pelo Exercício 6, como g é uma fu
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SoluçãoPelo teorema da Seção 9.
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e como cos(nπ)(-1) n = (-1) n (-1)
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12. Seja f : R → R a função per
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13. Esboce o gráfico da função F
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Portanto, a série de Fourier F de
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SoluçãoCalculemos os coeficientes
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SoluçãoConsidere a função peri
Page 963 and 964:
Agora, comoconverge uniformemente p
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em que K é uma constante.Como y(0)
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Integrando ambos os lados, temos qu
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3. Seja c > 0. A curva tractriz é
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Agora, voltando à variável y, tem
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5. Resolva a equação diferencialS
Page 975 and 976:
em que K ∈ R.Voltando para a vari
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8. Sendo determine a relação entr
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Voltando para a variável v, temos
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SoluçãoA equação se escreve com
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em que K é uma constante não nula
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é uma função contínua, pois h
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Portanto, toda soluçãodo sistema
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satisfaz a equação de BernoulliSa
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Capítulo11Equações Diferenciais
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3. Determine, passo a passo, a solu
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com A B ∈ R.Neste caso,deve-se te
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b) A equação característica éλ
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Assim,Portanto,8. Uma partícula de
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que tem raízesLogo a solução ger
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formaDerivando em relação a t, ob
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A solução da equação homogênea
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14. Considere a equação diferenci
Page 1009 and 1010:
Portanto, a solução geral é16. U
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exponencial. Assim, calculando a tr
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Capítulo12Sistemas de Duas e Três
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SoluçãoA equação característic
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SoluçãoNa forma matricial o siste
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Logo, são os autovalores de A.Auto
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Logo, ±αi são os autovalores de
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são periódicas e calcule os perí
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SoluçãoA matriz associada a esse
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em queé um vetor de R 3 . Desta fo
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em queé um vetor de R 2 . Desta fo
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Finalmente, a solução geral da eq
Page 1033 and 1034:
13. Sejam f, g, h : R → R funçõ
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Portanto, a solução geral do sist
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15. Seja A uma matriz real de ordem
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com 0 < x < π / 2.SoluçãoComo co
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que admita soluçõesSoluçãoO pri
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logoDaí, como x 1 ≠ x 2 , segue
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Portanto, a equação procurada éC
Page 1047 and 1048:
Segue que B = 0 e A = 1 (ou qualque
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É direto verificar que, tomando a
Page 1051 and 1052:
com A, B ∈ R.14. Encontre a solu
Page 1053 and 1054:
com x > 0.SoluçãoSabe-se que a so
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é uma equação de Euler com equa
Page 1057 and 1058:
existência e unicidade de soluçõ
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Verifique que as hipóteses do teor
Page 1061 and 1062:
5. Considere a equaçãocom a , b,
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7. Encontre a solução y = y (x) d
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logoem que A ∈ R. Impondo a condi
Page 1067 and 1068:
Suponha que k ≠ 0 . Neste caso, a
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Portanto,12. Determine a sequência
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Repetindo o processo, obtém-se φ
Page 1073 and 1074:
Portanto,eRepetindo o processo, obt
Page 1075 and 1076:
eRepetindo o processo, obtém-separ
Page 1077 and 1078:
eRepetindo o processo, obtém-se φ
Page 1079 and 1080:
eRepetindo o processo, obtém-se
Page 1081 and 1082:
em que k ∈ R é uma constante.b)
Page 1083 and 1084:
A equação é equivalente aFaça f
Page 1085 and 1086:
FaçaEntão,Portanto, a equação d
Page 1087 and 1088:
SoluçãoPor inspeção, y 1 (t) =
Page 1089 and 1090:
em que c ∈ R é uma constante. Se
Page 1091 and 1092:
Esse último sistema pode ser resol
Page 1093 and 1094:
SoluçãoFaça u = xy, assim,Essa
Page 1095 and 1096:
em que c ∈ R é uma constante. Da
Page 1097 and 1098:
em que c , k. ∈ RImpondo as condi
Page 1099 and 1100:
Conjuntos 1 NuméricosConjunto 1.1
Page 1101 and 1102:
Portanto, temos que b 2 é par, log
Page 1103 and 1104:
(b + c) = a · b + a · cPolinômio
Page 1105 and 1106:
coeficiente a n - 1 . O resultado s
Page 1107 and 1108:
1) Quadrado da soma: (a + b) 2 = a
Page 1109 and 1110:
ax 2 + bx + c = 0,em que a, b, c s
Page 1111 and 1112:
• Se c ≤ 0 e a ≤ b, então ac
Page 1113 and 1114:
Logo, S 2 = {x ∈ R | x ≥ 1} é
Page 1115 and 1116:
positivo quando x > 1 e negativo qu
Page 1117 and 1118:
• Um elemento de B pode estar ass
Page 1119 and 1120:
Analisando a função temos que, D
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