Um Curso de Calculo - Vol

Agora, seja ε = 1/2, e considere o N 0 ∈ N satisfazendo a implicação acima.
Por um lado, logo |1 – a| < 1/2, e portanto 1/2 < a < 3/2.
Por outro lado,
, logo |–1 – a| < 1/2, e deste modo
–3/2 < a < 1/2. Absurdo, pois não existe a ∈ R satisfazendo as duas inequações. Logo, o
limite de a n não existe.
Observamos que um outro modo de resolver o exercício é notar que:
Sabemos que o limite de f (x) = cos(π x) não existe, logo o limite de a n não existe.
2. Se a n é uma sequência convergente, mostre que o seu limite é único.
Solução
Suponha que lim = a n = a. Logo, pela definição de limite, dado ε > 0, existe N 0 ∈ N tal que:
Suponha que a sequência a n admite um limite b. Mostremos que a = b. Novamente, pela
definição de limite, temos que existe N 1 ∈ N tal que
Se N = max{N 0 , N 1 }, temos que: