Um Curso de Calculo - Vol

0 para algum x 0 ∈ I. Prove que f e g serão linearmente dependentes
se, e somente se, existir um número real k tal que, para todo x ∈ I,
f (x) = kg (x).
Solução
Suponhamos que f e g sejam linearmente dependentes. Segue que
existem números reais α e β, com pelo menos um deles diferente de
zero, tal que, para todo x ∈ I,
αf (x) + βg (x) = 0.
Em particular, αf (x 0 ) + βg (x 0 ) = 0. Como estamos supondo g (x 0 ) ≠
0, segue que se α = 0, então β = 0. Mas, α e β foram escolhidos de
modo que pelo menos um deles seja diferente de zero; logo, teremos
que ter necessariamente a ≠ 0. Então, para todo x ∈ I,
Basta tomar
. Deixamos a seu cargo provar a recíproca.
Sejam f (x) e g (x) definidas e deriváveis no intervalo I. O próximo
exemplo nos diz que se f e g forem linearmente dependentes, então o
wronskiano de f e g será identicamente nulo em I.
Exemplo 3
Sejam f, g: I → R deriváveis no intervalo I. Prove que se f e g forem
linearmente dependentes, então o wronskiano de f e g será
identicamente nulo em I.
Solução
Seja